第六节 二元函数的极值,一、二元函数的极值,二、二元函数的最大值与最小值,三、条件极值,定理2（极值存在的充分条件）:,设点,是函数,的驻点，且函数在点,的某邻域内二阶,偏导数连续，令,则,(1)当,时,点,）时,点,是极值点,且,（i）当,（或,）时,点,是极大值点；,(ii)当,（或,是极小值点.,()当,()当,时,点,不是极值点,时,点,不是极值点,可能是极值点也可能,（2）解方程组,得驻点,及,例1 求函数,的极值,解: （1）求偏导数,结论 :,在,处,在,处,取得极大值,函数在,处,无极值,函数在,注意:对一般函数,可能的极值点包括驻点或至少一,个偏导数不存在的点.,类似一元函数,求多元函数在有界闭区域上的可能,最值点包括驻点和偏导数不存在的点和边界点.分别,求出各点处的函数值,比较其大小即可.,例2 在,坐标面上找一点,使它到三点,的距离平方和为最小,解 设,为,面上的任一点,则,到,三点距离的平方和为,求,的偏导数，有,解方程组,得驻点,由问题的实际意义知，到三点距离平方和最小的点,一定存在,又只有一个驻点,因此,即为所求点,（1）条件极值,无条件极值,（2）条件极值不能转化为无条件极值（运用,拉格朗日乘数法）。,求函数,在约束条件,下的极值，,其步骤为：,(1)构造辅助函数,称为拉格,朗日函数,其中参数,称为拉格朗日乘数；,(2)解联立方程组,得可能极值点,构造辅助函数,而体积为最大的长方体的体积,例8 求表面积为,则长方体体积,解 设长方体长、宽、高分别为,约束条件为,即,为,解联立方程组,解得,因为,是唯一可能的极值点，所以由问题,的实际意义知,