第 1 页 共 25 页第十三讲 光学基础一、知识点击1几何光学的基本实验定律光的直线传播定律：在均匀介质中，光线为一直线光的独立传播定律：自不同方向或由不同物体发出的光线相交时，对每一光线的独立传播不发生影响光的反射和折射定律：光从一种介质射向另一种介质时，在界面上会同时产生反射和折射两种现象光的反射遵从反射定律，光的折射遵从折射定律，折射定律的数学表达式是 ，反射定律可看作是折射定12sini律当 时的特例当光从光密介质射向光疏介质且人射角大于或等于21n临界角时，就发生全反射2单球面折射与反射成像在近轴条件下，折射球面的成像公式为 nsr式中 s 是物距， 是像距，r 是球面曲经半径，n 和 n分别为折射球面的物s方折射率和像方折射率上式可改写成更具普遍性的高斯成像公式： 1fs其中 和 分别为折射球面的像方焦距和物方焦距。nfrnfr像长 与物长 之比称做垂轴（横向）放大率 ，对单折射球面成像，有y ns在球面折射成像公式中，令 r=，得平面折射成像公式： ns在球面折射成像公式中，令 ，得球面反射成像公式：n12r球面反射成像的垂轴放大率公式为 ys第 2 页 共 25 页在平面折射成像公式中，令 ，得平面反射成像公式为ns平面反射成像时垂轴放大率 13薄透镜的成像近轴条件下，薄透镜的成像公式为 2112nnsr利角物方焦距 和像方焦距12fnr21fr就可以得到薄透镜成像的高斯公式： fs对于空气中的薄透镜，n 1n 21，焦距公式简化为 f物像公式变为 sf薄透镜成像的垂轴放大率为 12nsy4光的波动性和光的量子性光的波动性：光波是一定波长范围内的电磁波。可见光的波长在 0. 40m 到 0. 76m 之间，波长长于 0.76m 的光波称为红外线，波长短于0. 40m 的光波称为紫外线。惠更斯一菲涅耳原理：光波波面上每一点都可看作是一个次级波源，各次波源是相干光源，空间某点的光振动是这些相干次波的合振动惠更斯一菲涅耳原理是波动光学的理论基础光的干涉和衍射现象是光的波动性的体现光的量子性：为了解释光电效应的实验规律，爱因斯坦提出了光量子（简称光子）的概念单个光子的能量 E 与频率 成正比，即 ，式Eh中 h 是普朗克常数由此他成功地解释了光电效应，并从理论上得到了光电效应方程：第 3 页 共 25 页光子既然具有一定的能量，就必须具有质量。按照狭21mhW义相对论质量和能量的关系 ，就可以确定一个光子的质量：2Emc，但光子的静止质量等于零2Ec光子也具有动量，一个光子的动量大小为 Ehpc用光子的概念可以简单而成功地解释康普顿效应，这是对光子假说的有力支持 二、方法演练类型一、用反射成像和作光路图解决实际问题。例 1如图 131 所示，内表面只反射而不吸收光的圆筒内有一半径为 R 的黑球。距球心为 2R 处有一点光源 S，球心 O 和光源 S 皆在圆筒轴线上，如图所示。若使点光源向右半边发出的光最后全被黑球吸收，则筒的内半径 r 最大为多少？分析和解：自 S 作球的切线 SM，并画出 S 经管壁反射形成的虚像点 S,及由 S画出球面的切线 SN，如图 132 所示，由图可看出，只要 SM 和 SN之间有一夹角，则筒壁对从 S 向右的光线的反射光线就有一部分进入球的右方，不会完全落在球上被吸收。由图可看出，如果 r 的大小恰能使 SN 与 SM 重合，如图 13 一 3，则 r 就是题所要求的筒的内半径的最大值。这时 SM 与 MN 的交点到球心的距离MO 就是所要求的筒的半径 r.由图 133 可得第 4 页 共 25 页2cos1inRr由几何关系可知 sR由、式得 23r类型二、用的折射定律和微元法分析解决光在非均匀介质中的传播问题。例 2有一块两面平行的透明板，其厚度为 d，折射率按下式变化：，一束光自 O 点由空气中垂直射人平行板内，并从 A 点以角01xnr射出，如图 134 所示。已知 n0=1.2，r13 cm， =300。试求平板的厚 度 d。分析和解：初看起来，本题似乎难于下手。我们可以遵循以下的思路来寻求解题的途径：先分析光线在板内的轨迹特征，由此轨迹确定 A 点的空间位置及光线在该点的入射方向，再由A 点处光线的折射关系建立有关的方程来求解。我们先分析一下根据本题介质分布情况而建立的一个特殊模型。设有折射率不同的几层均匀介质，其层间的分界面互相平行，又设有光线依次进入各层介质，如图 13 一 5 所示。其中各层介质的折射率分别为 n1、n 2、n 3光线与分界面法线的夹角分别为 由折射定律可以得到123i、 、 12si即 12sini同理可得 3sin显然有 123sii常 数将上述结论用于本题，可将本题的介质分布看成是层数无 限多、层厚趋于零的情况，故仍有 sinx=常 数由于 时，x=001xnr又此时 ， ，故上式中的常数即为 ，则上式变为09i0si 0n第 5 页 共 25 页0sinx将 的表达式代入上式，即得 sin1xr由图 136 可见，上式表示的是以点（r，0）为圆心，以 r为半径的圆的方程，亦即说明光线在此介质中是沿此圆弧传播的。光线自题给的 A 点由平板中射入空气中时，应满足的方程是（注意此时的介质分界面与 x 轴平行，而讨论光在平板内传播时，分层介质的分界面则与 x 轴垂直）0sini9AAi（ ）由于 1xr又注意到 A 点在前述的圆周上，故有220sin9cosAArxii（ ）（ ）联立上述三式可解得 20sinArx将题中的已知数值代人上式即可解得 1cm故平板的厚度为 22()AAdyrx类型三、光通过简单的单折射球面近轴成像问题。例 3有一种高脚酒杯，如图 137 所示。杯内底面为一凸起的球面，球心在顶点 O 下方玻璃中的 C 点，球面的半径 R=1.50 cm，O 到杯口平面的距离为 8.0cm。在杯脚底中心处 P 点紧贴一张画片，P 点距 O 点 6. 3 cm。这种酒杯未斟酒时。若在杯口处向杯底方向观看，看不出画片上的景物，但如果斟了酒，再在杯口处向杯底方向观看，将看到画片上的景物。已知玻璃的折射率 n1=1.56，酒的折射率 n2=1.34。试通过分析计算与论证解释这一现象。分析和解：把酒杯放平，分析成像问题。第 6 页 共 25 页（1）未斟酒时，杯底凸球面的两侧介质的折射率分别为 n1 和 n0 =1。在图138 中，P 为画片中心，由 P 发出经过球心 C 的光线 PO 经过顶点不变方向进入空气中；由 P 发出的另一近轴光线 PA 在 A 处折射后与轴交于 P点，P点即为 P 的像点。采用我们前面规定的符号法则，物像距公式为 0011nnsR以 n0=1，n 1=1.56，s=6.3 cm，R=1.50 cm 代入，求得 S=7.9 cm。由此可见，未斟酒时，画片上景物所成实像在杯口距 O 点 7. 9 cm 处。已知 O 到杯口平面的距离为 8. 0 cm。当人眼在杯口处向杯底方向观看时，该实像离人眼太近，所以看不出画片上的景物。（2）斟酒后，杯底凸球面两侧介质分别为玻璃和酒，折射率分别为 n1 和n2，如图 13 一 9 所示，此时，以 n1=1.56，n 2=1.34，S= 6.3 cm，R=1.50 cm 代入物像距公式 21sR解得 ，P为 P 点的虚像点，它位于 O 点左方 13 cm 处。13scm由此可见斟酒后画片上景物成虚像于 P处，距 O 点 13 cm，即距杯口21 cm。虽然该虚像还要因酒液平表面的折射而向杯口处拉近一段距离，但仍然离杯口处足够远，所以人眼在杯口处向杯底方向观看时，可以看到画片上的虚像。第 7 页 共 25 页类型四、光通过共轴球面系统的近轴成像问题。例 4在焦距为 20. 00 cm 的薄凸透镜的主轴上离透镜中心 30. 00 cm 处有一小发光点 P，一个厚度可以忽略的光楔 C（顶角 很小的的三棱镜）放在发光点与透镜之间，垂直于主轴，与透镜的距离为 2.00cm，如图 13 一 10所示。设光楔的折射率 n=1.5，楔角 =0.028弧度，在透镜另一侧离透镜中心 46. 25 cm 处放一平面镜 M，其反射面向着透镜并垂直于主轴。问最后形成的发光点的像相对发光点的位置在何处？（只讨论近轴光线，小角度近似适用，在分析计算过程中应作出必要的光路图） 。分析和解：本题共有五次成像过程（1）光楔使入射光线偏折，其偏向角为 (1)(.5)0.28.014n弧 度 弧 度因 与入射角大小无关，各成像光线经光楔后都偏折同样角度 。又因光楔厚度可忽略，所以作光路图时可画成一使光线产生偏向角 的薄平板，见图 13 一 11。光点 P 经光楔成一虚像点 。对近轴光线， 在 P 正上方，到 P 的距1P1离为 h，离光楔距离 b=28.00 cm。(1)0.39bncm（2） 为透镜 L 的实物，像点 的位置可由下式求出：1P 2P 1sf以 ， 代入，得 130.sc0.fc160.scm将 ，视为与光轴垂直的小物，由垂轴放大率公式1 1s可求得 210.78hcm第 8 页 共 25 页即像点 在光轴下方与光轴的距离为 0. 78 cm，与透镜中心的距离为2P60. 00 cm 处。见图 13 一 12。（3） 在平面镜之后，对平面镜是虚物，经平面镜成实像，像点 与 对2 3P2称于平面镜。d13.75 cm320.78hcm（4） 作为透镜的实物，经透镜折射后再次成像，设像点 ，此时物距P 2Ps2=32.50 cm,像距 。25.0sc在透镜左侧，主轴上方，见图 13 一 13。21.5hcm（5）第二次经透镜折射后成像的光线还要经光楔偏折，再次成像，像点 ，1P在 正下方，离光楔距离为 50 cm，离光轴的距离为 。2P h0.7hbc25m像点 在光轴上的垂足与 P 的距离为1P 2.0sbcm即最后的像点在发光点 P 左侧光轴上方，到光轴的距离为 0. 55 cm，其在光轴上的垂足到 P 的距离为 22. 00cm。类型五、在计算两相干光的光程差的基础上分析干涉条纹的方法解尖劈形薄膜第 9 页 共 25 页干涉在实践中有着广泛的应用的问题。例 5块规是机加工里用的一种长度标准，它是一钢质长方体，它的两个端面经过抛平磨光，达到相互平行。图 1314 中，G 1、G 2 是同规号的两个块规，G 1 长度是标准的，G 2 是要校准的。校准方法如下：把 G1 和 G2 放在钢质平台上，使面和面严密接触，G 1、G 2 上面用一透明平板T 压住。如果 G1 和 G2 的高度（即长度）不等，微有差别，则在 T 和 G1、G 2 之间分别形成尖劈形空气薄层，它们在单色光垂直照射下各产生干涉条纹。（1）设入射光的波长为 5893 ，G 1 和 G2 相隔oAL=5 cm，T 和 G1、G 2 间的干涉条纹间距都是0.5mm，试求 G1 和 G2 的高度之差，怎样判断它们谁长谁短？（2）如果 T 和 G1 间的干涉条纹的间距是 0.5mm，而 T 和 G2 间的是 0.3mm，则说明什么问题？分析和解：（1）如图 13 一 15，空气薄层为尖劈形，其折射率近似为 1.0，空气层上表面和下表面的反射光叠加后产生干涉极大的条件是 2hk相邻两干涉极大处空气层的厚度差为 21h由于劈的棱角 很小，故条纹间距 与相应的厚度变x化之间的关系