,第2章 数学基础,1,2019/5/25,2.1,拉普拉斯变换,本章内容,2.2,拉普拉斯反变换,2.3,Matlab运算基础,第2章 数学基础,2,2.1 拉普拉斯变换,2.1.1 拉普拉斯变换的定义 拉普拉斯变换可将时域函数f(t)变换为频域函数F(s)。只要f(t)在区间0,有定义，则有,2019/5/25,第2章 数学基础,3,2.1 拉普拉斯变换,上式是拉氏变换的定义式。由定义式可知：一个时域函数通过拉氏变换可成为一个复频域函数。式中的e-st称为收敛因子，收敛因子中的s=+j是一个复数形式的频率，称为复频率，其实部恒为正，虚部既可为正、为负，也可为零。上式左边的F(s)称为复频域函数，是时域函数f(t)的拉氏变换， F(s)也叫做f(t)的象函数。记作,2019/5/25,第2章 数学基础,4,2.1 拉普拉斯变换,【例2-1】求单位阶跃函数 、单位冲激函数 、指数函数 的象函数。 解：,2019/5/25,第2章 数学基础,5,2.1 拉普拉斯变换,2.1.2 拉普拉斯变换的性质 1线性性质 设函数 和函数 的象函数分别为 和 ， 和 是两个任意的实数，则,2019/5/25,第2章 数学基础,6,2.1 拉普拉斯变换,2微分性质 函数 的象函数与其导数 的象函数之间有如下关系： 若： 则有：,2019/5/25,第2章 数学基础,7,2.1 拉普拉斯变换,3积分性质 函数 的象函数与其积分 的象函数之间满足如下关系： 若： 则有：,2019/5/25,第2章 数学基础,8,2.1 拉普拉斯变换,4延迟性质 函数 的象函数与其延迟函数 的象函数之间有如下关系： 若： 则有：,2019/5/25,第2章 数学基础,9,2.1 拉普拉斯变换,5终值定理 函数 及其一阶导数都是可拉氏变换的，则 的终值为：,2019/5/25,第2章 数学基础,10,2.1 拉普拉斯变换,6初值定理 函数 及其一阶导数都是可拉氏变换的，则 的初值为：,2019/5/25,第2章 数学基础,11,2.1 拉普拉斯变换,7卷积性质 卷积的定义为：若 和 可以进行拉氏变换，称积分 为 和 的卷积。记为 ，即,2019/5/25,第2章 数学基础,12,2.1 拉普拉斯变换,卷积定理为：若 ， ，则： 即，两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函数的乘积。卷积性质在求解拉式反变换的时候，起着十分重要的作用。,2019/5/25,第2章 数学基础,13,2.2 拉普拉斯反变换,2.2.1 拉普拉斯反变换的定义 拉式反变换的定义如下： 式中为正的有限常数。 通常可用符号 表示对方括号里的复变函数作拉氏反变换，记作,2019/5/25,第2章 数学基础,14,2.2 拉普拉斯反变换,2.2.2 拉普拉斯反变换的部分分式展开 自动控制系统的响应的象函数F(s)通常可以表示为两个实系数的s的多项式之比，即s的一个有理分式： 其中m和n为正整数，且nm。,2019/5/25,第2章 数学基础,15,2.2 拉普拉斯反变换,把上式F(s)分解成若干简单项之和，需要对分母多项式作因式分解，求出D(s)=0的根，可以有三种情况： D(s)=0有n个单根 D(s)=0有重根 D(s)=0有共轭复根,2019/5/25,第2章 数学基础,16,2.2 拉普拉斯反变换,1、D(s)=0有n个单根 设n个单根分别为p1,p2，,pn，于是F(s)可以展开为： 式中， k1,k2，,kn为待定系数。,2019/5/25,第2章 数学基础,17,2.2 拉普拉斯反变换,待定系数确定方法： 上式两边同乘以 ，得 令 ，等式除右边第一项外其余都变为零，即可求得 同理，可求得其余的系数。,2019/5/25,第2章 数学基础,18,2.2 拉普拉斯反变换,待定系数确定之后，对应的原函数求解公式为：,2019/5/25,第2章 数学基础,19,2.2 拉普拉斯反变换,【例2-1】求 的原函数f(t)。 解： 的两个根为： , 代入公式得,2019/5/25,第2章 数学基础,20,2.2 拉普拉斯反变换,得到象函数为： 得到原函数为：,2019/5/25,第2章 数学基础,21,2.2 拉普拉斯反变换,2、 D(s)=0有重根 设p1为D(s)=0的重根，其余的全部都为单根，则F(s)可以分解为 对于单根，仍然采用前面的方法计算。,2019/5/25,第2章 数学基础,22,2.2 拉普拉斯反变换,对于 和 ，则需要用到下式： 由上式把 单独分离出来，可得： 再对式上中的s求一阶导数，分离 ，得,2019/5/25,第2章 数学基础,23,2.2 拉普拉斯反变换,如果D(s)=0具有q阶重根时，其余为单根时的分解式为 式中 ,2019/5/25,第2章 数学基础,24,2.2 拉普拉斯反变换,【例2-2】求 的原函数f(t) 解：令 =0 重根为p1=0，单根为 p2= -2,2019/5/25,第2章 数学基础,25,2.2 拉普拉斯反变换,2019/5/25,第2章 数学基础,26,2.2 拉普拉斯反变换,得到象函数为： 得到原函数为：,2019/5/25,第2章 数学基础,27,2.2 拉普拉斯反变换,3、D(s)=0有共轭复根 设共轭复根为 ， 则,2019/5/25,第2章 数学基础,28,2.2 拉普拉斯反变换,由于F(s)是实系数多项式之比，故k1和k2也为共轭复数。 设 ，则 ，有,2019/5/25,第2章 数学基础,29,2.2 拉普拉斯反变换,【例2-3】求 的原函数f(t) 解： 求得两共轭复根为,2019/5/25,第2章 数学基础,30,2.2 拉普拉斯反变换,2019/5/25,第2章 数学基础,31,2.3 MATLAB运算基础,2.3.1 矩阵运算 1矩阵的建立 矩阵是以“”为开始，以“”为结束，矩阵同一行之间以空格或者逗号分隔，行和行之间以分号或者回车符分隔。建立矩阵的方法有直接输入矩阵的元素、在现有矩阵中添加或者删除元素、采用现有的矩阵组合、矩阵转向、矩阵移位及直接通过函数建立矩阵等。,2019/5/25,第2章 数学基础,32,2.3 MATLAB运算基础,2矩阵的函数建立 （1）单位矩阵 单位矩阵可以用函数“eye(m,n)”实现，其中：m是要生成的矩阵的行数，n是要生成的矩阵的列数。 （2）全为1的矩阵 全部元素为1的矩阵可以用函数“ones(m,n)”来生成，其中：m是要生成的矩阵的行数，n是要生成的矩阵的列数。,2019/5/25,第2章 数学基础,33,2.3 MATLAB运算基础,（3）全为0的矩阵 元素全部为0的矩阵可以用函数“zeros(m,n)”来生成，其中：m是要生成的矩阵的行数，n是要生成的矩阵的列数。 （4）魔方矩阵 魔方矩阵可以用函数“magic(m)”来生成，其中：m是要生成的矩阵的维数。,2019/5/25,第2章 数学基础,34,2.3 MATLAB运算基础,（5）随机矩阵 随机矩阵可由函数“rand(m,n)”或者“randn(m,n)”来实现，它们分别表示生成的元素服从01间的均匀分布的随机矩阵，元素服从均值为0和方差为1的正态分布的随机矩阵。 3矩阵的基本运算 矩阵之间可以进行加“+”、减“-”、乘“*”、除“/”、“”、幂“”、对数“logm”、和指数“expm”运算。在进行左除“/”和右除“”时，两个矩阵的维数必须相同。,2019/5/25,第2章 数学基础,35,2.3 MATLAB运算基础,4矩阵的函数运算 （1）矩阵的行列式和转置 矩阵的行列式的值可以用函数“det( )”来计算；转置矩阵是矩阵元素的转换，可用函数“rot90”、“fliplr”等来实现。 （2）矩阵的特征值和特征向量 矩阵的特征值和特征向量的运算可用函数“eig( )”或者“eigs( )”来实现。 （3）矩阵的秩和迹 矩阵的秩可用函数“rank( )”来实现，矩阵的迹可用函数“trace( )”来实现。,2019/5/25,第2章 数学基础,36,2.3 MATLAB运算基础,2.3.2 符号运算 1、符号对象的创建和使用 符号对象的创建可由函数“sym()”和“syms()”完成 2、符号表达式的操作 MATLAB符号表达式的操作涉及符号运算中的因式分解、展开、化简等，它们在符号运算中非常重要，其相关的一些函数操作命令及功能如下表,2019/5/25,第2章 数学基础,37,2.3 MATLAB运算基础,2019/5/25,第2章 数学基础,38,2.3 MATLAB运算基础,2.3.3 关系运算和逻辑运算 在MATLAB中，关系运算和逻辑运算有其规定的关系运算符号和逻辑运算符号，其符号和功能如表,2019/5/25,第2章 数学基础,39,关系运算符,逻辑运算符,2.3 MATLAB运算基础,此外MATLAB还提供了几个关系和逻辑函数这些函数有： xor(x,y)，该函数表示逻辑异或，如果x或者y中的任意一个不为零，而另一个为零，就返回true，如果x和y同时为零或者同时不为零，就返回false。 any(x)，该函数表示如果向量x的任意一个元素不为零，就返回true，对于数组x的每一列，如果任何一个元素不为零，该列返回true。 all(x)，该函数表示如果向量x中的所有元素都不为零，则返回true，对于数组x的每一列，如果所有的元素都不为零，该列返回true。,2019/5/25,第2章 数学基础,40,谢谢大家！,结 束,41,