机械波,波动是一切微观粒子的属性， 与微观粒子对应的波称为物质波。,各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，有类似的波动方程。,机械振动在介质中的传播称为机械波。 声波、水波,6-4 机械波的基本概念,一、机械波产生的条件,如果波动中使介质各部分振动的回复力是弹性力，则称为弹性波。,弹性力： 有正弹性力（压、张弹性力）和切弹性力；液体和气体弹性介质中只有正弹性力而没有切弹性力。,1、有作机械振动的物体，即波源,2、有连续的介质,二、纵波和横波,横波振动方向与传播方向垂直，如电磁波,纵波振动方向与传播方向相同，如声波。,横波在介质中传播时，介质中产生切变，只能在固体中传播。,纵波在介质中传播时，介质中产生容变，能在固体、液体、气体中传播。,结论：机械波向外传播的是波源（及各质点） 的振动状态和能量。,横波,纵波,特点：质点的振动方向与波传播方向一致,结论：,(a) 质元并未“随波逐流” 波的传播不是媒质质元的传播,(b) “上游”的质元依次带动“下游”的质元振动,(c) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某处出现 -波是振动状态的传播,(d). 波是相位的传播,沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。,三、波线和波面,波场-波传播到的空间。,波面-波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹。,波前（波阵面）-某时刻波源最初的振动状态 传到的波面。,波线（波射线）-代表波的传播方向的射线。,各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直.,沿波线方向各质点的振动相位依次落后。,平面波,球面波,四、简谐波,波源以及介质中各质点的振动都是谐振动。,任何复杂的波都可以看成若干个简谐波叠加而成。,*五、物体的弹性形变,弹性形变：物体在一定限度的外力作用下形状和体积发生改变，当外力撤去后，物体的形状和体积能完全恢复原状的形变。,(1)长变,在弹性限度范围内，应力与应变成正比,(2) 切变,相对面发生相对滑移,在弹性限度范围内，应力与应变成正比,(3) 容变,在弹性限度范围内， 压强的改变与容变应变的大小成正比,O,y,A,波传播方向上相邻两振动状态完全相同的质点间的距离（一完整波的长度）.,1 波长,六、描述波动的几个物理量,横波：相邻 波峰波峰 波谷 波谷,纵波：相邻 波疏波疏 波密波密,2 周期 T,波传过一波长所需的时间，或一完整波通过波线上某点所需的时间.,3 频率,单位时间内波向前传播的完整波的数目. （1 内向前传播了几个波长）,决定于介质的弹性（弹性模量）和惯性（密度）,波在介质中传播的速度,4 波速,波速 u,在固体媒质中纵波波速为,G、 E为媒质的切变弹性模量和杨氏弹性模量 为介质的密度,在固体媒质中横波波速为,在同一种固体媒质中，横波波速比纵波波速小些,T为弦中张力，为弦的线密度,在弦中传播的横波波速为:,在液体和气体只能传播纵波，其波速为：,B为介质的容变弹性模量 为密度,理想气体纵波声速:, 为气体的摩尔热容比，Mmol为气体的摩尔质量， T为热力学温度， R为气体的普适常数， 为气体的密度,四个物理量的联系,例1 在室温下，已知空气中的声速 为340 ms-1，水中的声速 为1 450 ms-1，求 频率为200 Hz和2 000 Hz 的声波在空气中 和水中的波长各为多少？,在水中的波长,一、平面简谐波的波动方程,平面简谐波 简谐波的波面是平面。(可当作一维简谐波研究）,6-5 平面简谐波,1 、一平面简谐波在理想介质中沿x轴正向传播， x轴即为某一波线,设原点振动表达式：,y表示该处质点偏离平衡位置的位移 x为p点在x轴的坐标,p点的振动方程：,t 时刻p处质点的振动状态重复,时刻O处质点的振动状态,O点振动状态传到p点需用,沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程,沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动,为p点的振动落后与原点振动的时间,沿x轴负向传播的 平面简谐波的波动方程,2、 设有一平面简谐波沿 轴正方向传播， 波速为 ，坐标原点 处质点的振动方程为,考察波线上 点(坐标 ), 点比 点的振 动落后 , 点在 时刻的位移是 点在 时刻的位移，由此得,表示质点 在 时刻离开平衡位置的距离.,由于 为波传播方向上任一点，因此上述方程能描述波传播方向上任一点的振动，具有一般意义，即为沿 轴正方向传播的平面简谐波的波函数，又称波动方程.,可得波动方程的几种不同形式：,利用,和,或,波矢，表示在2 长度内所具有的完整波的数目。,波动方程:,二、波动方程的物理意义,1、如果给定x，即x=x0,x0处质点的振动初相为,为x0处质点落后于原点的位相,若x0= 则 x0处质点落后于原点的位相为2,是波在空间上的周期性的标志,波线上各点的简谐运动图,2、如果给定t，即t=t0 则y=y(x),表示给定时刻波线上各质点在同一时刻的位移分布，即给定了t0 时刻的波形,同一波线上任意两点的振动位相差,同一质点在相邻两时刻的振动位相差,T是波在时间上的周期性的标志,3.如x,t 均变化y=y(x,t)包含了不同时刻的波形,t时刻的波形方程,t+t时刻的波形方程,t时刻,x处的某个振动状态经过t ，传播了x的距离,在时间t内整个波形沿波的传播方向平移了一段距离x,行波,从形式上看：波动是波形的传播.,从实质上看：波动是振动的传播.,对波动方程的各种形式，应着重从物理意义上去理解和把握.,三*、平面波的波动微分方程,沿x方向传播的平面 波动微分方程,求t 的二阶导数,求x的二阶导数,例6-8已知波动方程为 ，求波长、周期、波速,解 (1)用比较法，将题给的波动方程改写成如下形式,并与波动方程的标准形式 比较，即可得,所以,例6-9 已知平面简谐波沿x轴正方向传播，波速u=340m/s, t=0s波形图如图，求o点振动方程和波动方程,解,u=340m/s,例1 简谐波沿x轴正向传播，频率为=0.5Hz,波速为u=18ms-1, t=0.5s时刻的波形如图,求波函数.,-0.05,解:虚线表示t+t时刻的波形表明该时刻x=0,0.1,x,y,点处质元正朝着负y轴方向运动,根据波方程,的一般表达式,这里A=0.1, =2=,利用旋转矢量图可判断出:,y,从而定出初位相,波函数为,例2平面简谐波以400ms-1的速度沿一直线传播,已知波源的振动周期为0.01s,振幅为A=0.01m.,以波源振动经过平衡位置向正向运动时作为,记时起点,求:以距波源2m处为坐标原点写出波函数.,解:波源处振动函数为:,这里A=0.01, =,2,T,=200,t=0时, y=0, v0,由旋转矢量图可判断出:,于是波源处的振动方程为:,t时刻距波源2m处的振动方程为:,y,以此点为坐标原点波函数为:,一、波的能量和能量密度,波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振动能量的传播。,有一平面简谐波,质量为,在x处取一体积元,质点的振动速度,6-6 波的能量与能流,体积元内媒质质点动能为,体积元内媒质质点的弹性势能为,体积元内媒质质点的总能量为：,1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。,说明,2）在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。,能量密度 单位体积介质中所具有的波的能量。,平均能量密度 一个周期内能量密度的平均值。,能流:单位时间内通过介质中某一 截面的能量。,二、波的能流和能流密度,平均能流：在一个周期内能流的平均值。,能流密度（波的强度）： 通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量。,例 试证明在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向上振幅不变，球面波的振幅与离波源的距离成反比。,分析平面波和球面波的振幅,证明：,在一个周期T内通过S1和S2面的能量应该相等,所以,平面波振幅相等。,对平面波：,所以振幅与离波源的距离成反比。如果距波源单位距离的振幅为A则距波源r 处的振幅为A/r,由于振动的相位随距离的增加而落后的关系，与平面波类似，球面简谐波的波函数：,对球面波：,三、波的吸收,波在实际介质中，由于波动能量总有一部分会被介质吸收，波的机械能不断减少，波强亦逐渐减弱。,波通过厚度为dx的介质，其振幅衰减量为-dA,波强的衰减规律：,*四、声压、声强和声强级,声压：介质中有声波传播时的压力与无声波时的 静压力之间的压差。,平面简谐波，声压振幅为,声强：声波的能流密度。,频率越高越容易获得较大的声压和声强,引起人听觉的声波有频率范围和声强范围,声强级,人耳对响度的主观感觉由声强级和频率共同决定,6-4 惠更斯原理 波的叠加和干涉,一、惠更斯原理,1、惠更斯原理： 介质中波阵面（波前）上的各点，都可以看作为发射子波的波源，其后一时刻这些子波的包迹便是新的波阵面。,t时刻波面 t+t时刻波面波的传播方向,波 的 衍 射,水波的衍射,波在传播过程中遇到障碍物，能绕过障碍物的边缘，在障碍物的阴影区内继续传播.,、波的衍射,*应用惠更斯原理证明波的反射和折射定律,6-8 波的干涉和驻波,一、惠更斯原理,1、惠更斯原理： 介质中波阵面（波前）上的各点，都可以看作为发射子波的波源，其后一时刻这些子波的包迹便是新的波阵面。,一、波的叠加,各列波在相遇前和相遇后都保持原来的特性（频率、波长、振动方向、传播方向等）不变，与各波单独传播时一样，而在相遇处各质点的振动则是各列波在该处激起的振动的合成。,波传播的独立性原理或波的叠加原理：,说明： 振动的叠加仅发生在单一质点上 波的叠加发生在两波相遇范围内的许多质点上,能分辨不同的声音正是这个原因,6-8 波的干涉和驻波,波的叠加原理,波传播的独立性：两列波在某区域相遇后再分开，传播情况与未相遇时相同，互不干扰.,波的叠加性：在相遇区，任一质点的振动为二波单独在该点引起的振动的合成.,频率相同、振动方向平行、相位相同或相位差恒定的两列波相遇时，使某些地方振动始终加强，而使另一些地方振动始终减弱的现象，称为波的干涉现象.,二、波的干涉,两列波若频率相同、振动方向相同、在相遇点的位相相同或位相差恒定，则合成波场中会出现某些点的振动始终加强，另一点的振动始终减弱（或完全抵消），这种现象称为波的干涉。,相干条件,具有恒定的相位差,振动方向相同,两波源具有相同的频率,满足相干条件的波源称为相干波源。,传播到p点引起的振动分别为：,在p点的振动为同方向同频率振动的合成。,设有两个相干波源S1和S2 发出的简谐波在空间p点相遇。,合成振动为：,其中：,由于波的强度正比于振幅，所以合振动的强度为：,对空间不同的位置，都有恒定的，因而合强度在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。,其中：,相长干涉的条件：,相消干涉的条件：,当两相干波源为同相波源时，相干条件写为,相长干涉,相消干涉, 称为波程差,波的非相干叠加,三 驻波,1 驻波的形成,现象,条件 两列振幅相同的相干波异向传播,驻 波 的 形 成,二、驻波方程,驻波是两列振幅、频率相同，但传播方向相反的简谐波的叠加。,函数不满足,它不是行波,它表示各点都在作简谐振动，各点振动的频率相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的不同而不同。,驻波的特点：不是振动的传播，而是媒质中各质点都作稳定的振动。,1、波腹与波节 驻波振幅分布特点,三、驻波的特点,相邻波腹间的距离为：,相邻波节间的距离为：,相邻波腹与波节间的距离为：,因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。,2、驻波的位相的分布特点,时间部分提供的相位对于所有的 x是相同的，而空间变化带来的相位是不同的。,在波节两侧点的振动相位相反。同时达到反向最大或同时达到反向最小。速度方向相反。,两个波节之间的点其振动相位相同。同时达到最大或同时达到最小。速度方向相同。,*3、驻波能量,驻波振动中无位相传播，也无能量的传播,一个波段内不