第四章 正弦交流电路,第一节 正弦交流电的基本概念 第二节 正弦交流电的相量表示法 第三节 单一理想元件的交流电路 第四节 RLC串联的交流电路 第五节 阻抗的串联与并联 第六节 正弦交流电路的分析方法 第七节 功率因数的提高 第八节 正弦交流电路的谐振 第九节 非正弦交流电路,目录,习 题,第一节 正弦交流电的基本概念,正弦量 正弦量的三要素,返回,一、正弦量: 大小和方向随时间按正弦规律变化 的电压、电流和电动势统称为正弦量。,正弦信号的和、差、微积分等运算结果仍是同频率的正弦信号。,当正弦信号作为电路的信号源时，电路中产生的响应仍是同频率的正弦信号。,返回,i=Isin(t+ ),其波形如图,t,i,T,从表达式可以看出,当Im、确定后,正弦量就被唯一地确定了,所以这三个量统称为正弦量的三要素。,正弦电流 i 用三角函数表示为,返回,O,二、正弦量的三要素,1.周期T、频率f 和角频率 2.最大值和有效值,3. 相位、初相、相位差,返回,周期T : 正弦量变化一次所需要的时 间称为周期。单位是秒 (s)。 频率f : 1s正弦量变化的次数称为频率。 单位是赫兹(Hz)。 显然 f =1/T 或 T =1/f,1.周期、频率f 和角频率,角频率 :,单位时间里正弦量变化的角度称为 角频率。单位是弧度/秒（rad/s）。 =2/T=2f,返回,周期，频率，角频率从不同角度描述了正弦量变化的快慢。三者只要知道其中之一便可以求出另外两个。,2最大值和有效值,正弦量某一瞬间的值称为瞬时值，瞬 时值中最大的称为最大值。Im、Um、 Em分别表示电流、电压和电动势的 最大值。,表示交流电的大小常用有效值的概念。,返回,把两个等值电阻分别通一交流电流i 和直流电流。如果在相同的时间内所产生的热量相等，那么我们把这个直流电流定义为交流电流的有效值。,所以交流电的有效值是瞬时值的方均根。,即,将电流的三角式带入上式中有:,返回,同理:,3.相位、初相、相位差,相位：我们把 t+ 称为相位。 初相：t0时的相位称为初相。 相位差：任意两个同频率的正弦 量的相位之差。用 表示。,返回,例1、,两者的相位差为:,0 电压超前电流角 (或电流滞后电压 角) =0 电压与电流同相位 0 电流超前电压角 = 电流与电压反相,若:,返回,返回,u、i,t,O,解： =314rad/s，=2f f = /2=50Hz，T=1/f = 0.02s,i= 30， u= 45 = u i=75,例2、已知：i =10sin(314t+30) A， ，试指出它们的角频率、周期、幅值、有效值和初相，相位差，并画出波形图。,返回,t,30,u、i,10A,如图所示：,45,u 滞后 i 75, i 超前 u 75。,返回,O,第二节 正弦交流电的相量表示,相量图表示法 相量表示法（复数表示） 基尔霍夫定律的相量形式,返回,一、相量图表示法 正弦信号可用一旋转矢量来表示， 令 矢量长度Im 矢量初始角 矢量旋转速度,如图：,返回,O,O,该矢量某一时刻在纵轴上的投影刚好等于正弦量的瞬时值。,一般我们研究的是同频率的正弦量， 用相量表示时，它们同以速度旋 转相对位置保持不变。因此 ，在同 一相量图中，以t0时刻的相量表示 正弦量。,相量的写法为大写字母的上方加一 个“.”。,返回,例、用相量图来表示下列正弦量。,解：,120,120,u1 =Um sint V,120,u2 =Um sin（t 120）V,u3 =Um sin（t 240）V,返回,注 意 只有正弦量才能用相量表示； 几个同频率正弦量可以画在同一相量图上； 任意两个同频率正弦量的和或差可用平行四边形法则求。,返回,二、相量表示法（复数表示）,我们知道一个相量可以用复数表示， 而正弦量又可以用相量表示，因此正 弦量可以用复数表示。,1. 复数表示法：,A=a+jb 代数式 A=r(cos +jsin)三角式,A=r e j 指数式 A=r 极坐标式,返回,O,其中, =arctan(b/a),a=r cos,b=r sin,2. 有关复数的计算,加减运算用代数式, 实部与实部, 虚部与虚部分别相加减。 乘除运算用指数式或极坐标式， 模相乘或相除，辐角相加或相减。,返回,3、 正弦量的相量表示,一个复数的辐角等于正弦量的初相角， 复数的模等于正弦量的最大值或有效值，该复数称为正弦量的相量。,R = a+jb 是t = 0 固定相量的复数形式。,返回,例、写出下列正弦量的相量， 并求 出：i = i1+i2 ,画出相量图。,解：,İ1= 2060A,İ2=10-30A,İ = İ1+ İ2 =(2060+10 30)A =20(cos60 +jsin60 )+ 10cos(30)+jsin (30)A,返回,=22.3633.4A,=（18.66+j12.39）A,=（10+j17.39+8.66j5）A,相量图为:,返回,三、基尔霍夫定律的相量形式,KCL i = 0 KVL u = 0,İ= 0 U= 0,i=i1+i2,返回,U=U1+U2,u u1u2,陷井挖好了，跳吧,返回,下列表达式书写正确的是：,来了？,来了？,哈哈，没掉下去！,第三节 单一理想元件的交流电路,电阻电路 电感电路 电容电路,返回,设,一、电阻电路,u,1. 电压与电流关系,i,为了比较各个正弦量之间的相位关系，先规定一个初相角为零的参考正弦量。,u、i 满足欧姆定律,返回,Im、Um（U、I）同样满足欧姆定律：,复数形式,复数形式欧姆定律,返回,可见：电压与电流同相位,i,u,相量图,返回,t,O,可见:P0 电阻是一个耗能元件。,2功率关系,瞬时功率,p= ui =UmImsin2t =UI(1-cos2t),(2)平均功率 = UI = I2R = U2/R,UI,返回,O,O,二、电感电路,u,i,1.电压与电流关系,设 i =Imsint u = L di/dt = LImcost =Umsin(t+90) Um= LIm,感抗 U=XLI,XL= L,返回,单位：欧姆（）,因此:,相量表达式为:,电感中的电流滞后电压90 （电压超前电流90）。,相量图,返回,2功率关系,(1) 瞬时功率,在正弦交流电路中，电感功率以2按正弦规律变化。,波形如图所示,pu i =ImUmsint cost IUsin2t,返回,显然,第一个 1/4 周期p0，电感吸收能量。 第二个 1/4 周期 p0，放出能量。它与电源间进行能量的互相交换。,t,u、i,t,p,i,u,返回,O,O,平均功率(有功功率),电感是储能元件,不消耗电能。,无功功率,无功功率反映的是电感与电源间能量互相交换的规模。,QL= U I = I 2 XL = U 2XL 单位: 乏（var）,返回,解：,XL= L=520 IL=UL/ XL=0.336A 电感中电流落后电压90,QL=ULIL=69.54var,例、设电感1.65H, = 314 rad/s ，求XL、iL、QL 。,返回,三、电容电路,u,i,C,1.电压与电流关系,设：,返回,容抗,电容中的电流超前电压,相量图,返回,单位：欧姆（）,相量表达式为：,2. 功率关系,（1）瞬时功率,返回,t,u、i,t,p,显然,第一个1/4周期p0，电容储存能量。 第二个1/4周期p0，放出能量。,u,i,返回,O,O,（2）平均功率（有功功率）,电容是储能元件，不消耗电能。,（3）无功功率,无功功率反映的是电容与电源间能量 互相交换的规模。,单位是乏（var）,返回,例1、设电容C0.1F, = 6280 rad/s uC=10sin(t+30)V，求XC 、İC 、QC。,解：,XC= 1C=1.59k,电容中电流超前电压90 İC =4.45 30+90 = 4.45 120mA QC=UCIC=31.6103 var,返回,例2、已知XL=10，R= 2，A2表读数2A，设个表均为理想电表,求其余各表读数。,A,A1,A2,V,R,L,解：,U=I2XL=210V=20V,I1=U/R=20/2A=10A,İ = İ 1+ İ 2 =(10j2)A =10.2 11.3A,设İ1= 100 A =10A,İ2= 290 A =j2 A,A1: 10A、A: 10.2A、V:20V,返回,例3、已知各电流表读数为A1=5A, A2=20A， A3=25A，求(1)A表读数 (2)若维持A1读数不变,而把电路频率提高一倍，再求其它表读数。,R,L,C,解：,设 İ1=50A= 5A İ2= 2090A=j20A İ3= 2590A=j25A,İ = İ 1+ İ 2+ İ 3 =(5+j5)A,A:7.07A,返回,(2)若维持A1读数不变, R两端电压不变，,U = RI1 = XLI2 = XCI3 XL = L , XC = 1/C f 提高一倍，=2 U =L I2 = 2L I2 = 2L I2 I2 = 0.5I2 =10A XCI3 =0.5XCI3 I3 = 2I3=50A İ = İ1+ İ2+ İ3 =40.3182.9A A2: 10A 、A3:50A、A:40.31A,返回,第四节 RLC串联的交流电路,电压与电流关系 功率关系,返回,一、电压与电流关系,i,R,L,C,u,以电流为参考正弦量， i = Im sint 即İ =I0,1. 相量图法,相量图为：,返回,可见：,UR,ULUC,U,电压三角形,返回,总电压有效值 U=UR+UL+UC U 2= UR2+（ULUC）2,电抗与阻抗,U 2= UR2+UL2 +UC2,返回,式中 X=XLXC 称为电抗,称为阻抗，单位,U=Iz,相位关系,可见 是由R、L、C及决定的。,返回,90 0 电压超前电流电路呈感性。 90 0 电流超前电压电路呈容性。 = 0 电压与电流同相,电路呈纯阻 性。,2.复数形式分析法,返回,Z为复阻抗,Z=R+j(XLXC) = z,复数形式欧姆定律,阻抗三角形, 角为阻抗角,它等于电压与电流之间的相位差角。,R,XL-XC,z,R= z cos X= z sin,返回,在RLC串联交流电路中，R=15， L=12mH, 电源电压 ， C=5F,求:电路中的电流i 和各部分电压uR ,uL ,uC (2)画相量图。,例1、,解：,=60,=500012103,XL=L,=40,=150005106,XC=1/C,返回,返回,相量图如图：,