- 1 - 20182019 学年度高三年级第三次模拟考试学年度高三年级第三次模拟考试 数学科试卷（文科）数学科试卷（文科） 第第卷（共卷（共 6060 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的. . 1.已知集合 ，或 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 因为，所以，应选答案 D。 2.已知命题，命题是成等比数列的充要条件”.则下列命题中为真命题 的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 当 x2，或 x1 时，故命题 p 为真命题； b2=ac=0 时，a，b，c 不是等比数列，故命题 q 为假命题； 故命题，均为假命题； 为真命题； 故选：C 3.已知角 的终边过点，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 随着 的取值不同其值不同 【答案】B - 2 - 【解析】 试题分析：角 的终边过点， =,. 考点：任意角的三角函数值. 4.已知函数的最小正周期为 ，为了得到函数的图象，只要将的 图象（ ） A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度 C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度 【答案】D 【解析】 试题分析：由题意得，因此向右平移个单位长度，选 D. 考点：三角函数图像变换 【思路点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩” ，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中， 所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 x 而言. 函数 yAsin（x） ， xR 是奇函数k（kZ） ；函数 yAsin（x） ，xR 是偶函数k（kZ） ；函数 yAcos（x） ，xR 是奇函数k（kZ） ；函数 yAcos（x） ，xR 是偶函数 k（kZ） ； 5.函数在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析：，所以切线方程是，选 C. 考点：导数几何意义 【思路点睛】 （1）求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的差异，过点 P 的切线 - 3 - 中，点 P 不一定是切点，点 P 也不一定在已知曲线上，而在点 P 处的切线，必以点 P 为切点. （2）利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂 直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求 解. 6.已知 ， 是非零向量，且向量 ， 的夹角为 ，若向量，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量的模的定义以及向量数量积定义求解. 【详解】,选 D. 【点睛】本题考查向量的模的定义以及向量数量积定义，考查基本求解能力，属基本题. 7.在等差数列中，若，则的值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据等差数列性质化简条件与结论，即得结果. 【详解】因为，所以， 因此，选 A. 【点睛】本题考查等差数列性质，考查等价转化求解能力，属中档题. 8.在各项均为正数的等比数列中，成等差数列，是数列的前 项的和，则 A. 1008 B. 2016 C. 2032 D. 4032 【答案】B 【解析】 试题分析：设等比数列的公比为 - 4 - 因为成等差数列 所以 因为，解得 所以， 故答案选 考点：等比数列和等差数列 9.已知函数，则的图象大致为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 令g(x)=xlnx1,则， 由g(x)0,得x1,即函数g(x)在(1,+)上单调递增， 由g(x)0 得 0x1,即函数g(x)在(0,1)上单调递减， 所以当x=1 时,函数g(x)有最小值,g(x)min=g(0)=0， 于是对任意的x(0,1)(1,+),有g(x)0，故排除B. D， 因函数g(x)在(0,1)上单调递减,则函数f(x)在(0,1)上递增，故排除C， 本题选择A选项. 10.已知圆 ：，圆 ：，若圆 的切线 交圆 于两点，则面积的取值 范围是 - 5 - A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 试题分析：圆 是以为圆心，半径为 2 的圆；圆 是以为圆心，半径为 4 的圆，两圆内含；当点 到切线的距离最小为 1 时，最大为，此时面积最大为；当点 到切线的距离最大为 3 时， 最小为，此时面积最小为. 考点：圆的方程、圆与圆的位置关系. 11.函数在上的最大值为 2，则 a 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 试题分析：先画出分段函数 f（x）的图象，如图当 x-2，0上的最大值为 2；欲使得函数 在上的最大值为 2，则当时，的值必须小于等于 2，即，解得： ， 故选 D. 考点：函数最值的应用. 12.已知函数，则 A. 4032 B. 2016 C. 4034 D. 2017 【答案】A 【解析】 【分析】 - 6 - 先分析函数性质，再利用性质求和. 【详解】因为，所以 g为 R 上奇函数， 因此，即， 所以， 令,则, 所以，选 A. 【点睛】本题考查奇函数性质以及函数对称性，考查综合分析求解能力，属中档题. 第第卷（共卷（共 9090 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.已知正数满足，则的最小值是_. 【答案】. 【解析】 试题分析：由得，因为都为正数，所以，这样 当且仅当，即时，取最小值. 考点：均值不等式求最值. 14.若实数满足条件，则的最大值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 先作可行域，再根据图象确定直线最大值取法，即得 的最大值. 【详解】作可行域，由图象可知直线过点 A(3,7)时取最大值 23，从而的最大值为. - 7 - 【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想. 需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线 的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 15. 中，点在边上，若，则 _ 【答案】 【解析】 【分析】 建立直角坐标系，用坐标表示向量，再根据向量垂直条件列方程解得结果. 【详解】以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，建立直角坐标系，则, ,因为，所以， 因为 M 在 BC 上，所以,=1, 因此=. 【点睛】本题考查向量坐标表示、向量平行与垂直坐标表示，考查基本分析求解能力，属中档题. 16.在中，分别为角的对边，若，则_ 【答案】 【解析】 由余弦定理可得：，再有正弦定理角化边可得： - 8 - 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17.已知函数 （I）求函数的最小正周期； （）求使函数取得最大值的 的集合 【答案】解：（1）1 分 3 分 5 分 函数的最小正周期为6 分 (2)当取最大值时，此时有8 分 即所求 x 的集合为10 分 【解析】 略 18.已知数列满足 （I）求数列的通项公式； （）设以 为公比的等比数列满足 ） ，求数列的前 项 和 【答案】 （1）（2） 【解析】 试题分析：（1）根据题意可得由题知数列是以 为首项， 为公差的等差数列，然后根据等差数列 通向求法即可得结论（2）由题先得的通项，根据等比性质先得通项，因此 ，再根据分组求和即可 试题解析： 解：(1) 由题知数列是以 为首项， 为公差的等差数列，. (2)设等比数列的首项为，则，依题有 - 9 - ，即，解得， 故，. 19.在中，内角的对边分别为，已知 （）求角 的大小； （）若，且是锐角三角形，求实数 的取值范围 【答案】 （1）（2） 【解析】 试题分析：（1）展开，结合两角和正余弦公式得，从而可得（2）先根据 ，将实数 表示为 C 的函数：，再根据是锐角三角形，确定 自变量 C 的范围：，因此 试题解析：解：（1）由题意得 ，. （2）,为锐角三角形，且, . 考点：两角和正余弦公式，同角三角函数关系 【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边 和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件 即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具 即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 20.设是等比数列，公比大于 0，其前n项和为，是等差数列已知， ， - 10 - （I）求和的通项公式； （II）设数列的前n项和为， （i）求；（ii）求数列的前n项和 【答案】 （I），（II） （i）.（ii）见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据等差数列与等比数列基本量列方程组解得公差与公比以及，再根据等差数列与等比数列通项公 式求结果， （2） （i）先根据等比数列求和公式得再利用分组求和法得结果， （ii）先化简， 再利用裂项相消法求和. 【详解】 （I）解：设等比数列的公比为q.由可得. 因为，可得，故. 设等差数列的公差为d，由，可得由， 可得 从而故 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为 （II） （i）由（I） ，有，故 . （ii）证明：因为， 所以，. 【点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法， 裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和， - 11 - 常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或. 21.如图,为保护河上古桥 OA,规划建一座新桥 BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥 BC 与河岸 AB 垂 直;保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆,且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少 于 80 m.经测量，点 A 位于点 O 正北方向 60 m 处,点 C 位于点 O 正东方向 170 m 处(OC 为河岸),tanBCO= . （1）求新桥 BC 的长; （2）当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大? 【答案】(1) 150 m (2) |OM|=10 m 【解析】 试题分析：本题是应用题，我们可用解析法来解决，为此以 为原点，以向东，向北为坐标轴建立直角坐标 系.（1） 点坐标炎，因此要求的长，就要求得 点坐标，已知说明直线斜 率为，这样直线方程可立即写出，又，故斜率也能得出，这样方程已知，两条直线的交 点 的坐标随之而得；（2）实质就是圆半径最大，即线段上哪个点到直线的距离最大，为此设， 由，圆半径 是圆心到直线的距离，而求它的最大值，要考虑条件古桥两端 和 到该圆上任一点 的距离均不少于 80 ，列出不等式组，可求得 的范围，进而求得最大值当然本题如果用解三角形的知识 也可以解决 试题解析： - 12 - （1）如图，以为轴建立直角坐标系，则，由题意，直线方程为 又，故直线方程为，由，解得，即， 所以 ； （2）设，即 ，