第二十四章 影响线,第一节 影响线的概念 第二节 用静力法作静定梁的影响线 第三节 用机动法作静定梁的影响线 第四节 影响线的应用 第五节 简支梁的内力包络图 第六节 连续梁的影响线和内力包络图 主要任务： 1、掌握影响线、包络图的概念 2、掌握静力法作静定梁的影响线 3、掌握影响线的应用,第一节 影响线的概念,影响线的定义如下：当一个指向不变的单位集中荷载在结构上移动时，结构某指定截面的某一量值变化规律的图形，称为该量值的影响线。 某量值的影响线一经绘出，就可以利用它来确定给定移动荷载的最不利荷载位置，从而求出该量值的最大值。下面先介绍影响线的绘制方法，然后再讨论影响线的应用。,第二节 用静力法作静定梁的影响线,静力法是以荷载的作用位置x为变量，利用静力平衡条件列出所研究的量值与x的关系。表示这种关系的方程称为影响线方程。,一、反力的影响线,现在拟作反力FAy的影响线。为此，取梁的左端A为坐标原点，令x表示 至原点A的距离，并假定反力的方向以向上为正。根据平衡条件,根据影响线方程，即可作出相应量值的影响线。,得,即FAy的影响线方程。FAy是x的一次函数，故FAy的影响线为一直线，任意定出两个竖标就可绘出它来。如图b所示。,同理，可作反力FBy的影响线，于是绘得反力FBy的影响线如图c所示。,在作影响线时，通常规定将正值影响线竖标绘在基线的上边，负号竖标绘在下边，并注明正负号。,二、弯矩的影响线,现在拟作指定截面C（图a）的弯矩Mc的影响线。,当 在截面C以左移动时，取截面C以右部分为隔离体，并规定以使梁的下边纤维受拉的弯矩为正，有,当 在截面C以右移动时，取截面C以左部分为隔离体，有,根据以上两个方程可作出影响线如图b中实线所示。,三、剪力的影响线,现在拟作指定截面C的剪力FQC的影响线,当 截面C以左移动时，取截面C以右部分为隔离体，并规定使隔离体有顺时针转动趋势的剪力为正，有,当 在截面C以右移动时，取截面C以左部分为隔离体，有,作剪力影响线图C所示,例 试作图a所示外伸梁的反力影响线，以及截面C、D的弯矩和剪力影响线。,解：先作外伸梁的反力FAy 和FBy的影响线。取支座A为坐标原点，并分别求得反力FAy 和FBy的影响线方程为,因此，只需将相应简支梁的反力影响线向两个伸臂部分延长、便可绘得其反力FAy 和FBy的影响线，如图b、c所示。,再作两支座之间的截面C的弯矩影响线。,当 在截面C以左移动时，取截面C以右部分为隔离体,当 在截面C以右移动时，取截面C以左部分为隔离体，则,据此可知：Mc和FQC的影响线方程和简支梁也是相同的，因而与作反力影响线样，只需将相应简支梁上截面C的弯矩和剪力影响线向两伸臂部分延长，即可得到外伸梁的Mc和FQC影响线，如图d、e所示。,最后，作位于伸臂上的截面D的弯矩和剪力影响线,为了计算简便，取D为坐标原点，以x表示 至原点D的距离,，且令x在D以左时取正值。取截面D以左部分为隔离体，考虑其平衡条件可得,当FP=1位于D以左部分时，有,当FP=1位于D以右部分时，则有,据此可作出MD和FQD影响线如图f、g所示。,第三节 用机动法作静定梁的影响线,作静定结构的内力或反力影响线时，除可采用静力法外，还可采用机动法。机动法是以虚功原理为基础，把作内力或反力影响线的静力问题转化为作位移图的几何问题。,拟求支座A反力FAy的影响线。为此，将与FAy相应的约束去掉，代以未知力X（图b），使体系具有一个自由度。然后使体系发生任意微小的虚位移，并以 和 分别表示未知力X和FP的作用点沿力的作用方向的虚位移，则根据虚功原理有,故得,令 =1，则上式变为,由此可知，使,=l时的虚位移,图就代表X的影响线，只是符号相反。据此，可作出FAy的影响线如图c所示。,综合上述可知，用机动法作影响线的步骤如下： (1) 去掉与X相应的约束，代以未知力X。 (2) 使所得体系沿X的正方向发生单位位移，则由此得到的虚位移图即代表X的影响线。 机动法可以不经具体计算就能迅速绘出影响线的轮廓，这对于设计工作是很方便的，而且，还可利用它对静力法所绘制的影响线进行校核。,例 试用机动法绘制图a所示简支梁的弯矩和剪力影响线。,去掉截面C处与Mc相应的约束（在截面C处加铰），代以一对等值反向的力偶Mc。然后，给体系以虚位移，如图b所示。,若使 则所得到的虚位移图即表示Mc的影响线，如图c所示。,解 1. 弯矩Mc的影响线,2. 剪力FQC的影响线。,去掉截面C与FQC相应的约束（在截面C处加两根平行链杆），代以一对等值反向的剪力FQC，沿FQC正方向使体系发生虚位移，并使AC1和BC2仍保持平行，则得到如图d所示的虚位移图。,=1,令,则得FQC的影响线如图e所示。,第四节 影响线的应用,影响线是研究移动荷载作用下结构计算的基本工具，应用它可确定一般移动荷载作用下某量值的最不利荷载位置，从而求得该量值的最大值。为此需要解决两方面的问题： 一是当实际荷载在结构上的位置已知时，如何利用某量值的影响线求出该量值的数值； 二是当实际的移动荷载在结构上移动时，如何利用影响线确定其最不利荷载位置。下面分别讨论。,一、利用影响线求荷载作用下的量值,1. 集中荷载作用,设有一组集中荷载FP1、FP2 、FP3作用于简支梁上，位置已知，如图a所示。现求梁上截面C的剪力。,根据叠加原理可知，在这组荷载作用下FQC的数值为,将上述结果推广到一般情况：,注意:影响线竖标yi的正、负号。,2. 均布荷载作用,如果梁在AB段承受均布荷载q作用（图a），则将均布荷载沿其长度方向分成无数个微段dx，而每一微段上的荷载qdx可作为,集中荷载，它所引起的S值为 因此，在AB段均布荷载作用下的S值为,式中，A表示影响线在荷载范围内的面积。在计算面积A时，同样需考虑正、负号,例 利用影响线求外伸梁（图a）在图示荷载作用下的FQC值。 解 先作出FQC的影响线，如图b所示。,在均布荷载范围内的面积为,集中荷载作用下的竖标为,二、最不利荷载位置,在结构设计中，需要求出量值S的最大值(包括最大正值 和最大负值 后者又称为最小值)作为设计的依据，对于移动荷载，必须先确定使量值达到最大值时的最不利荷载位置。,1. 可动均布荷载,对于图a所示外伸梁，欲求截面C的最大正弯矩和最大负弯矩,则它们相应的最不利荷载位置将分别如图c、d所示。,2. 移动集中荷载,对于移动集中荷载，由 可知，当 为最大值时，则相应的荷载位置即为量值S最不利荷载位置。由此推断，最不利荷载位置必然发生在荷载密集于影响线竖标最大处，并且可进一步论证当移动集中荷载在最不利荷载位置时，必有一个集中荷载作用在影响线的顶点。为分析方便，通常将这一位于影响线顶点的集中荷载称为临界荷载.,利用上述推断，可以采用试算法来确定最不利荷载位置，并求出相应量值的最大值。,例 试求图a所示简支梁在两台吊车荷载作用下截面C的最大正剪力。已知FP1= FP2= FP3= FP4=280kN。,解 先作FQC的影响线，如图b所示 。,欲求FQCmax，首先，应使尽可能多的荷载位于影响线的正号面积范围内。其次，应使排列密的荷载位于影响线竖标较大的部位。图c所示为最不利荷载位置。由此求得,例 试求图a所示简支梁在吊车荷载作用下截面C的最大弯矩。已知FP1= FP2= 478.5kN，FP3=FP4=324.5kN。,解 先作MC的影响线，如图b所示 。 MC的最不利荷载位置有如图c、d所示两种可能情况。现分别计算对应的MC值，并加以比较，即可得出MC的最大值。,对于图d所示情况有,二者比较可知，图c所示为MC的最不利荷载位置，此时,第五节 简支梁的内力包络图,所谓内力包络图，是指结构在移动荷载作用下，表示各截面内力最大值（最大正值和最大负值）的图形。内力包络图是结构设计的重要依据。 下面以图a所示吊车梁在吊车荷载作用下的内力包络图为例加以说明。,线求出各等分点所在截面的最大弯矩值，最后按同一比例尺用竖标标出，连成曲线，便可以得到如图b所示的弯矩包络图。弯矩包络图表示各截面弯矩可能变化的范围。,绘制梁的弯矩包络图时，一般先将梁分成若干等分（通常分为十等分），再利用影响,同理，可绘出剪力包络图如图c所示。由于每一截面的剪力可能发生最大正值和最大负值，故剪力包络图有两条曲线。,在弯矩包络图中，通常把最大的竖标称为绝对最大弯矩。绝对最大弯矩代表在移动荷载作用下梁各截面最大弯矩中的最大值。,第六节 连续梁的影响线和内力包络图,一、连续梁的影响线,用机动法作连续梁影响线的方法和步骤与静定梁是基本一致的。即为了作出某量值影响线，只要去掉与该量值相应的约束，代以未知力X，使所得体系沿X的正方向发生单位位移，则由此得到的虚位移图，即代表X的影响线。,连续梁是工程中常用的一种结构，例如房屋建筑中的梁板式楼面，其上的板、次梁和主梁一般都按连续梁来计算，而连续梁承受的活载多为可动均布活荷载(如楼面上的人群荷载)，这时，只要知道影响线的轮廓就可确定其最不利荷载位置，而不必求出影响线竖标的具体数值。用机动法绘出影响线的轮廓，是十分方便的。,图a、b、c、分别为连续梁剪力FQK、弯矩MK、支座弯矩Mc影响线的轮廓。有了影响线的轮廓，就可以方便地确定连续梁在可动均布活荷载作用下的最不利分布情形。,二、连续梁的内力包络图 作弯矩包络图的步骤可总结如下： (1) 绘出恒载作用下的弯矩图。 (2) 依次按每一跨单独布满活载的情况，逐一绘出其弯矩图。 (3) 将各跨分为若干等分，对每一等分点处，将恒载弯矩图中该处的竖标值与所有各个活载弯矩图中对应的正(负)竖标值之和相叠加，便得到各分点处截面的最大(小)弯矩值。 (4) 将上述各最大(小)弯矩值在同一图中按同一比例尺用竖标标出，并以曲线相连，即得所求的弯矩包络图。,有时还需作出表明连续梁在恒载和活载共同作用下的最大剪力和最小剪力变化情形的剪力包络图。其绘图步骤与弯矩包络图相同。由于设计中用到的主要是各支座附近截面上的剪力值，因此实际绘制剪力包络图时，通常只将各跨两端靠近支座截面处的最大剪力值和最小剪力值求出，而在每跨中以直线相连，近似地作为所求的剪力包络图。,例 试绘制图a所示三跨等截面连续梁的弯矩包络图和剪力包络图。梁上承受的恒载为g=20kN/m,，均布活载为p=40kN/m。,