第2章 导数与微分,导数与微分是微分学的两个基本概念本章将从寻找曲线的切线斜率、确定变速直线运动的瞬时速度和分析函数增量的近似表达式入手，抽象概括出导数与微分的概念，进而讨论函数的微分法,下一页,上一页,返回,一、导数的概念,二、微分的概念,三、可导、可微和连续的关系,第1节 导数与微分的概念,下一页,上一页,返回,3,1. 两个实例,切线割线的极限位置,（1）曲线的切线斜率,如图,如果割线 MN 绕点 M 旋转而趋向极限位置MT , 直线MT 就称为曲线 C 在点 M 处的切线.,一、导数的概念,下一页,上一页,返回,4,极限位置即,下一页,上一页,返回,5,（2）变速直线运动的瞬时速度,取极限得瞬时速度,下一页,上一页,返回,6,定义,2. 函数 y = f（x）在点 x0 处的导数,即,下一页,上一页,返回,7,2.右导数:,单侧导数,1.左导数:,下一页,上一页,返回,8,下一页,上一页,返回,9,定义,3. 导函数,注意:,下一页,上一页,返回,10,用定义求导数,步骤:,例1,解,下一页,上一页,返回,11,例2,解,下一页,上一页,返回,12,例3,解,下一页,上一页,返回,13,例4,解,下一页,上一页,返回,14,4. 导数的几何意义,切线方程为,法线方程为,下一页,上一页,返回,15,例5,解,由导数的几何意义,得切线斜率为,切线方程为,法线方程为,下一页,上一页,返回,16,二、微分的概念,实例 正方形金属薄片受热后面积的改变量,1. 微分的定义,下一页,上一页,返回,17,问题: 这个线性函数(改变量的主要部分) 是否所有函数的改变量都有?它是什 么?如何求?,下一页,上一页,返回,18,定义,微分的实质,下一页,上一页,返回,19,由定义知:,下一页,上一页,返回,20,定理1,证,(1) 必要性,下一页,上一页,返回,21,(2) 充分性,下一页,上一页,返回,22,例6,解,下一页,上一页,返回,23,2. 微分的几何意义,M,N,）,下一页,上一页,返回,24,三、可导、可微和连续的关系,定理2 凡可导（可微）函数都是连续函数.,证,注意: 该定理的逆定理不成立.,下一页,上一页,返回,25,连续函数不存在导数举例,下一页,上一页,返回,26,例7,解,下一页,上一页,返回,27,下一页,上一页,返回,