一、函数项级数,返回,下一页,第3节 幂级数,二、幂级数及其收敛性,一、函数项级数,返回,下一页,上一页,称为函数项级数，,(6.1),一般地，由定义在同一区间内的函数序列构成的无穷级数，,返回,下一页,上一页,称为函数项级数的收敛域.,收敛点的全体构成的集合，,返回,下一页,上一页,则称点 x0 为函数项级数(6.1)的一个收敛点.,若上述数项级数收敛，,反之,若上述数项级数发散,则称点 x0 为函数项级数(6.1) 的发散点.,若 x0 是收敛域内的一个值， 因此必有一个和 S(x0) 与之对应，,即,这个函数 S (x) 就称为函数项级数的和函数.,返回,下一页,上一页,上述级数的和 S也随之变动，就得到一个定义在收敛域上的函数S(x)，即,当 x0 在收敛域内变动时，,返回,下一页,上一页,那么在函数项级数的收敛域内有,则在收敛域内同样有,如果我们仿照数项级数的情形,将函数项级数(6.1) 的前n 项和记为 Sn(x) ,且称为部分和函数，即,Sn(x),解 因为所给级数的部分和函数,例6-15 试讨论,返回,下一页,上一页,返回,下一页,上一页,所以,它在区间 (-1,1) 内收敛,即收敛域为,(-1,1).且所给级数的和函数,在函数项级数中，比较常用的是幂级数与三角级数，下面我们首先研究幂级数.,1.幂级数的概念,二、幂级数及其收敛性,函数项级数,的每一项都是 (x-x0)的幂级数.式（6.2）所示级数称为(x-x0)的幂级数，记作,返回,下一页,上一页,返回,下一页,上一页,当x0=0时，式（6.2）所示级数成为,称为x的幂级数.,我们重点讨论x的幂级数.,定理,对x=R点，幂级数可能收敛也可能发散.,返回,下一页,上一页,2.幂级数的敛散性,例 6-17 求幂级数,的收敛区间 .,解,所以收敛半径 R=+,级数收敛区间是 (-.+).,返回,下一页,上一页,例6-18 求幂级数,解 所给级数缺少奇次项,不能直接利用定理,可用比值审敛法.得,返回,下一页,上一页,返回,下一页,上一页,因此所给级数收敛区间是-1，1.,它们的和函,3 .幂级数在收敛区间内的性质,那么对于收敛的幂级数有如下的性质:,返回,下一页,上一页,性质1(加法和减法),返回,下一页,上一页,性质2,和函数s(x)在收敛区间（-R ，R)连续.,返回,下一页,上一页,但在收敛区间端点处的收敛性可能改变.,性质3(逐项求导数),若幂级数,则在 (R , R) 内和函数 S(x) 可导，,且有,所得幂级数的收敛半径仍为 R ，,返回,下一页,上一页,但在收敛区间端点处的收敛性可能改变.,则和函数 S(x)在（R , R ) 可积，,并且有 :,所得幂级数的收敛半径仍为 R,和函数 S(x),性质4(逐项积分),返回,下一页,上一页,例 6-19,解 这是公比q=x的等比级数在(-1,1)内收敛,其前项和为,返回,下一页,上一页,