第一章：逻辑代数基础,1.1 概述 1.2 逻辑代数中的三种基本 运算 1.3 逻辑代数的基本公式和 常用公式 1.4 逻辑代数的基本定理 1.5 逻辑函数及其表示方式 1.6 逻辑函数的公式化简法 1.7 逻辑函数的卡诺图化简 法 1.8 具有无关项逻函及其化简,1.1 概 述,1.1.1 数字量和模拟量,模拟量：,随时间是连续变化的物理量。 特点：具有连续性。,表示模拟量的信号叫做模拟信号。,工作在模拟信号下的电子电路称为模拟电路。,数字量：,时间、幅值上不连续的物理量。 特点：具有离散。,表示数字量的信号叫做数字信号。,工作在数字信号下的电子电路称为数字电路。,1.1.2 数制和码制,一、数制,通式：,1、十进制(Decimal),有十个数码：0、1、9； 逢十进一（基数为十）； 可展开为以10为底的多项式。,如：（48.63）,2、二进制（Binary),有两个数码：0、1； 逢二一（基数为2）； 可展为以2为底的多项式。,如：,式中：,同理：用同样方法可分析十六进制数，此处不再说明。,下面说明十进制与二进制间的对应关系：,二、数制转换,2、十 二,整数部分：除2取余法,19,9 18 1,10011,（19）D（ ）B,小数部分：乘2取整法,例：（0.625）D（ ）B,0.625,2,1.250,0.50,1.0,0.101,方法：从小数点开始左右四位一组，然后按二、十进制的对应关系直接写出即可。,如：（110110010.11011）B,=（1B2.D8）H,B,2,1,D,8,二、码制,内容见下表,例如，一位十进制数09十个数 码，用四位二进制数表示时，其代码称为二 十进制代码，简称 BCD代码。,用不同的数码表示不同事物的方法，就称为编码。为便于记忆和处理，在编码时必须遵循一定的规则，这些规则就称为码制。,BCD代码有多种不同的码制：,8421BCD 码、,2421BCD码、,余3码等，,十进制,编码种类,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,权,8421码,0 0 0 0,0 0 0 1,0 0 1 0,0 0 1 1,0 1 0 0,0 1 0 1,0 1 1 0,0 1 1 1,1 0 0 0,1 0 0 1,8 4 2 1,1.2 逻辑代数中的三种基本运算,逻辑代数(布尔代数),用来解决数字逻辑电路的分析与设计问题。,参与逻辑运算的变量叫逻辑变量，用字母A，B表示。每个变量的取值非0 即1。逻辑变量的运算结果用逻辑函数来表示，其取值也为0和1。,0 、1的含义,在逻辑代数及逻辑电路中，0和1已不再具有值的概念。仅是借来表示事物的两种状态或电路的两种逻辑状态而已。,2、与逻辑真值表,3、与逻辑函数式,4、与逻辑符号,5、与逻辑运算,A B,Y,0 0,0 1,1 0,1 1,0,0,0,1,一、与逻辑运算,1、与逻辑定义,某一事件能否发生，有若干个条件。当所有条件都满足时，事件才能发生。只要一个或一个以上的条件不满足，事件就不发生，这种决定事件的因果关系“与逻辑关系”。,二、 或逻辑运算,A B,0 1,1 0,1 1,Y,0,1,1,1,2、或逻辑真值表,3 、 或逻辑函数式,4 、 或逻辑符号,Y=A+B,0+0=0； 0+1=1； 1+0=1； 1+1=1,5、或逻辑运算,1、或逻辑定义,0 0,某一事件能否发生，有若干个条件。只要一个或一个以上的条件满足，事件就能发生；只有当所有条件都不满足时，事件就不发生，这种决定事件的因果关系“或逻辑关系”。,三、 非运算,条件具备时，事件不能发生；条件不具备时事件一定发生。这种决定事件的因果关系称为“非逻辑关系”。,5 、 非逻辑运算,4、 非逻辑符号,3 、非逻辑函数式,2、非逻辑真值表,A,Y,0,1,1,0,1 、非逻辑定义,四、 几种最常见的复合逻辑运算,1 、 与非,2 、 或非,3 、 同或,4 、 异或,1.3 逻辑代数的基本公式和常用公式,9,试证明： A+AB=A,1) 列真值表证明,2) 利用基本公式证明,A+BC,AB+C,二、 推广举例,A B,A+AB,A,0,0,1,1,A+AB=A(1+B)=A1=A,常用公式的证明与推广,一、证明举例,1.4、逻辑代数的基本定理,1.4.1 代入定理,在逻辑代数中，如将等式两边相同变量都代之以另一逻函，则等式依然成立。,1.4.2 反演定理,将逻函中的“+”变“”，“”变“+”；“0”变“1”，“1”变“0”；原变量变反变量，反变量变原变量，所得新式即为原函数的反函数。,将逻函中的“+”变“”，“”变“+”；“0”变“1”，“1”变“0”；变量不变，所得新式即为原函数的对偶式。,1.4.3 对偶定理,1.5 逻辑功能的描述方法,1.5.2 真值表,1.5.1 逻辑函数表达式,0,0,0,0,0,1,1,1,上述逻函的真值表如右表所示。,逻函是以表达式的形式反应逻辑功能。,真值表是以表格的形式反应逻辑功能。,1.5.3 逻辑图,以逻辑符号的形式反应逻辑功能。与上述逻函对应的逻辑电路如下,逻辑功能还有其它描述方法。,1.5.4 各种逻辑功能描述方法间的转换关系,例：已知逻辑图，求其真值表。,解： 先由逻辑图写出逻函表达式，再将逻函表达式化为与或式并以此列出真值表。,0 0,0 1,1 0,1 1,0,0,1,1,1.6 逻函的公式化简法,1.6.1 化简的意义,先看一例：,先学做人后学专业,与或表达式,与或非表达式,与非与非表达式,或非或非表达式,或与表达式,1.6.2 化简的原则,1、表达式中乘积项最少（所用的门最少）； 2、乘积项中的因子最少（门的输入端数最少）； 3、化为要求的表达形式（便于用不同的门来实现）。,1.6.3 公式化简法,例1：,例2：,例3：,人的核心竞争力是“学习”,1.7 逻函的卡诺图化简法,公式化简法建立在基本公式和常用公式的基础之上，化简方便快捷，但是它依赖于人们对公式的熟练掌握程度、经验和技巧，有时化简结果是否为最简还心中无数，而卡诺图化简法具有规律性，易于把握。,1.7.1 逻函的标准形式,逻函有两种标准表达形式，即最小项和最大项表达形式，这里主要介绍最小项表达形式。,一、最小项,定义： 设某逻函有个变量，是个变量的一个乘积 项，若中每个变量以原变量或反变量的形式出现一次且只出现一次，则称为这个逻函的一个最小项。,如：Y（A、B、C、D）ABCD+ABCD+ABC,1、最小项性质,、个变量必有且仅有2最小项,约定：原变量用“1”表示； 反变量用“0”表示。,注：用编号表示最小项时， 变 量数不同，相同编号所对应的最小项名也不同。,、所有最小项之和恒等于1,1、最小项性质,、个变量必有且仅有2最小项,约定：原变量用“1”表示； 反变量用“0”表示。,注：用编号表示最小项时， 变 量数不同，相同编号所对应的最小项名也不同。,、所有最小项之和恒等于1,根据这一性质知，逻函一般不会包含属于它的所有最小项。,2、最小项的求法,注：, 在真值表中，逻函所包含的最小项恰是逻函取值为“1”所对应的项，如：,逻函的最小项表达形式是唯一的。,二、最大项自学,1.7.2 逻函的卡诺图表示法,一、逻辑相邻项,定义：在逻函的两个最小项中，只有一个变量因互补而不同外，其余变量完全相同。,如：,与,显然，在真值表中，几何相邻的两个最小项未必满足逻辑相邻。那么，能否将真值表中的最小项重新排列从而使得几何相邻必逻辑相邻呢？答案是：能，那就是真值表！,ABC,A,0,4,3,2,1,7,6,BC,0,1,00,01,11,10,5,A,BC,二变量：,珍爱环境就是珍爱生命,四变量：,请同学们考虑它的相邻关系。,二、相邻项的合并规则,两个相邻项合并可消去一个变量，如：,四个相邻项合并可消去两个变量， 如：,八个相邻项合并可消去三个变量，如：,同理：,十六个相邻项合并可湔去四个变量； 以此类推。,1.7.3 逻函的卡诺图化简法,化简原则：, 被圈最小项数应等于2个；, 卡诺圈应为矩形且能大不小；, 最小项可被重复圈但不能遗漏；, 每圈至少应包含有一个新有最小项。,例1：,Y（0，1，3，5，7）,1,1,1,1,1,例2：,Y（0，4，5，7，15）,1,1,此例说明：逻函化简的结果不一定是唯一的，但最简程度一定是唯一的。,例3：,1,1,1,1,Y,BD,+ABC,1,1,1,1,例3：,Y=m(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14),1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,圈“1”法：,圈“0”法：,1.8 约束逻函的化简法,1.8.1 约束项和约束条件,在8421BCD码中，m10m15 这六个最小项是不允许出现的，我们把它们称之为约束项（无关项、任意项）。,（10，11，12，13，14，15）0称为约束条件。,1.8.2 约束逻函的化简,例：设A、B、C、D为一位8421BCD码，当C、D两变量取值相反时，函数值取值为1，否则取值为0，试写出逻函的最简表达式。,解：,先列出该逻辑问题的真值表：,此例说明：卡诺图不仅可以化简逻函，还可以转换表达形式。,0,1,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,