第三章 导数与微分,第二章介绍了自变量的变化对函数变化趋势的影响. 本章进一步研究函数相对于自变量变化的快慢程度, 即变化率问题, 从中抽象出导数的概念, 导出计算公式与法则, 这就是所说的微分法, 它是微积分的重要组成部分.,第一节 导数概念,一、引例,二、导数的定义,三、导数的几何意义,五、可导与连续的关系,在实际问题中经常会遇到函数增量与自变量增量之比的问题，如曲线在某点切线的斜率、变速直线运动的瞬时速度、经济管理中的边际成本等，如何定义和求解这类问题呢？,四、左导数、右导数,1. 切线问题,设曲线 y = f (x) 的图形如图,曲线上一定点, 在曲线上另取一点 N(x0+x, y0+y),作割线 MN, 当点 N 沿曲线趋于点 M 时, 如果割线 MN 绕点 M 旋转而趋于极限位置 MT, 直线MT 就称为曲线 y = f (x) 在点 M 处的切线.,点 M (x 0, y 0) 为,作割线 MN,一、引例,MN 的斜率为,其中 为割线 MN 的倾角.,存在, 则此极限 k 就是切线 MT 的斜率.,如果当点 N 沿曲线趋于点 M 时, 有 x 0 , 上式的极限存在, 设为 k, 即,2. 变速直线运动的瞬时速度,设s 表示一物体从某个时刻开始到时刻 t 作直线运,当物体作匀速运动时,它的速度不随时间而改变,即,现在研究物体在 t = t 0时的瞬时速度.,动所经过的路程, 则 s = s (t).,当时间 t 由 t 0 改变到 t 0+t 时, 物体在这一时间段内经过的路程为 s = s (t 0+t) s (t 0).,当物体做变速运动时, 它的速度随时间而改变,表示从 t 0 到 t 0+t 这一时间段内的平均速度,当 t 很小时, 可以用,近似表示物体在 t 0 时刻的速度. 当t 0时如果极限,存在, 则称此极限为物体在时刻 t 0 的瞬时速度,此时,即,二、导数的定义,上述两个实例的具体含义是不相同的, 但从抽象,此类极限就是函数的导数.,的数量关系来看, 它们的实质是一样的, 都归结为计,算函数的增量与自变量增量的比, 当自变量增量趋,于0时的极限, 即,定义,的极限存在, 则称函数 y = f (x),在 x 0 处可导, 并称此极限为函数 y = f (x) 在点 x 0 处,也可记作,如果当 x 0时,当自变量 x 在 x 0 处取得增量 x (点 x 0 + x 仍在该邻域内)时, 相应的, 函数取得增量 y = f (x 0 + x) f (x 0).,的导数, 记为 f (x 0). 即,设函数 y = f (x)在点 x 0 的某个邻域内有定义.,导数的定义式也可取不同的形式, 常见的有,如果极限,不存在, 则称函数,y = f (x) 在点 x 0 处不可导.,x 0 时,也称函数 y = f (x) 在 x 0 处的导数,是无穷大, 或说 f (x) 在点 x 0 处有无穷导数.,如果不可导的原因是由于,如果函数 y = f (x) 在开区间 I 内每一点处都可导,x I, 都对应着 f (x) 的一个确定的导数值, 这样就,就称函数 f (x) 在开区间 I 内可导. 这时对于任意的,构成了一个新的函数, 这个函数称为原来函数的,导函数(简称导数), 记作 y, f (x),对于 y = f (x),f (x 0)与 f (x)之间的关系:,是连续可导的. 导函数的定义为,导数 f (x 0)就是导函数 f (x)在点 x = x 0处的函数值, 即,如果 f (x) 为连续函数, 则说 f (x),函数 f (x) 在点 x 0 处的,（1）求增量,（2）算比值,（3）求极限,由定义，得出求导数步骤:,例1 求函数 f (x) = C（C为常数）的导数.,即 (C) = 0.,例2 求函数 f (x) = x n (nN+)的导数.,即 (x n)= nx n-1.,例如, 当 x 0 时,(x )= x -1.,一般地, 对于幂函数 y = x ( 为常数), 有,例3 求函数 f (x) = sinx的导数.,即 (sinx)= cosx.,同理可以得到 (cosx)= sinx.,例4 求函数 f (x) = e x 的导数.,即 (e x)= e x.,更一般地, 有 (a x)= a x lna.,例5 求函数 f (x) = lnx 的导数.,更一般地, 有,三、导数的几何意义,函数 y = f (x) 在点 x 0 处的导数 f (x) 在几何上表示曲线 y = f (x) 在点 M (x 0, f (x 0) 处的切线斜率, 即,f (x 0) = tan , 其中 为切线的倾角.,y f (x 0) = f (x 0)(x x 0).,如果函数 y = f (x) 在点 x 0 处可导, 则曲线在点 M (x 0, f (x 0) 处的切线方程为,过切点 M (x 0, f (x 0) 且与切线垂直的直线叫做曲线 y = f (x) 的法线. 如果 f (x) 0, 则法线方程为,例6 求曲线,在点(1, 1)处的切线方程,在点(1, 1)处的切线斜率,故切线方程为 y 1 = (x 1), 即 x + y 2 = 0.,和法线方程.,法线方程为 y 1 = x 1, 即 x y = 0.,例7 求曲线 y = sinx 在点,处的切线方程.,切线方程为,存在的充分必要条件是,且相等. 这两个极限分别称为函数 f (x) 在点 x 0 处的,都存在,左导数和右导数. 记做,则函数 f (x)在点 x 0 处可导的充分必要条件是左导数,f-(x 0) 和右导数 f+(x 0) 都存在且相等.,四、左导数、右导数,左导数和右导数统称为单侧导数.,如果函数 f (x) 在开区间 (a, b) 内可导, 且 f+(a),及 f-(b) 都存在, 则称 f (x)在闭区间 a, b 上可导.,类似地可以给出 f (x) 在 a, b) 及 a, +) 等区间上,可导的定义.,例8 讨论函数 f (x) = x , 在 x = 0 处的可导性.,显然, f (x) 在点 x 0 处连续. 因为,所以 f-(x0) f+(x0), 即 f (x),其图形见图.,在点 x = 0 处不可导.,五、可导与连续的关系,定理 如果函数 y = f (x) 在点 x 0 处可导, 则它在,证 因为 f (x) 在点 x 0 处可导, 则,这就是说 y = f (x) 在点 x 0 处连续.,点 x 0 处连续.,在点 x 0 处连续, 但在点 x 0 处不一定可导.,此定理的逆定理不成立,即若函数 y = f (x),例8中的函数 f (x) 在点 x = 0 处连续, 但不可导, 所以, 函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件, 但不是充分条件.,再看下面的例子 .,例9 函数,在区间 (-,+) 内连续,在点 x = 0 处,即导数为无穷大, 也就是不存在导数, 但此时曲线有切线 x = 0, 见图.,解：,而,不存在。,例10 讨论,例2. 设, 问 a 取何值时,在,都存在 , 并求出,解:,故,时,此时,在,都存在,显然该函数在 x = 0 连续 .,内容小结,1. 导数的实质:,3. 导数的几何意义:,4. 可导必连续, 但连续不一定可导;,5. 已学求导公式 :,2.,增量比的极限;,切线的斜率;,