1, 2.2 离散时间傅里叶变换(DTFT),序列的DTFT定义 序列的DTFT的性质 利用MATLAB计算序列的DTFT,重点：DTFT的定义、对称性质、 Parseval定理,2,一、序列的DTFT定义,X(e j )是 的连续函数 X(e j )是周期为2的周期函数 DTFT存在的充分条件是序列绝对可和或平方可和,DTFT:,IDTFT:,3,证明：,两边同乘以e jm，并在一个周期内积分,若一致收敛，交换积分与求和的顺序,即,4,一、序列的DTFT定义,序列的DTFT X(ej) 一般为 的复函数， 可表达为幅度谱和相位谱的形式， 也可表达为实部和虚部的形式。,相位谱 的主值区间为(-，,5,例2-2-1 试求序列 x(n)=a n u(n) 的DTFT。,当|a|1时，,求和不收敛，序列的DTFT不存在。,当|a|1时，,解,6,例2-2-1 试求序列 x(n)=a n u(n) 的DTFT。,解,a=0.5,7,一、序列的DTFT定义,DTFT的收敛性,定义X(ej)的部分和,绝对可和,一致收敛,能量有限,均方收敛,若序列满足绝对可和，则序列存在DTFT。 若序列满足平方可和，则序列存在DTFT。（充分条件）,8,例2-2-2理想低通滤波器的频率响应为 试求其单位抽样响应,解,平方可和,9,均方收敛于,10,绝对可和与平方可和只是DTFT存在的充分条件，不是必要条件。,解,11,作业:,P93 2-2、2-3,12,二、序列的DTFT的性质,1. 线性特性,若,则有,13,二、序列的DTFT的性质,若,则,序列的时域位移对应频域的相移 序列的时域相移对应频域的频移,2. 移位特性,14,二、序列的DTFT的性质,3. 卷积特性,序列时域的卷积对应频域的乘积,证明,15,二、序列的DTFT的性质,3. 卷积特性,序列时域的乘积对应频域的卷积,证明,16,二、序列的DTFT的性质,序列时域的能量等于频域的能量,4. Parseval定理,17,例2-2-4已知x(n)为一有限长序列且 不计算x(n)的DTFT X(ej)，试直接确定下列表达式的值。,(1),(2),(3),(4),解 0，0，2，88,18,二、序列的DTFT的性质,5. 对称特性,共轭对称序列,共轭反对称序列,共轭对称实序列称为偶序列，共轭反对称实序列称为奇序列,共轭对称的概念：,19,二、序列的DTFT的性质,5. 对称特性,任一序列x(n)都能表示成一个共轭对称与共轭反对称序列之和：,其中,20,二、序列的DTFT的性质,若,则,5. 对称特性,对称特性：,21,二、序列的DTFT的性质,5. 对称特性,将X(ej)分解为实部和虚部,偶函数,奇函数,当 x(n)是实序列时，由于x(n) = x*(n) ，所以有,共轭对称,22,二、序列的DTFT的性质,5. 对称特性,将X(ej)分解为幅度和相位,偶函数,奇函数,23,例2-2-5试求矩形序列x(n)=R5(n)的频谱。,解,N=5时,24,25,二、序列的DTFT的性质,5. 对称特性,当x(n)为实偶序列时，由于 x(n)=x*(-n) ，所以,当x (n)为实奇序列时，由于x(n)= -x*(-n) ，所以,ReX (ej)=0; X(ej)是 的虚奇函数,ImX (ej)=0; X(ej)是 的实偶函数,26,二、序列的DTFT的性质,5. 对称特性,若,有,27,三、利用MATLAB计算序列的DTFT,X = freqz(b, a,w),b 分子的系数矩阵 a 分母系数矩阵,w 在一个周期0,2p)上的抽样频率点(至少2点),计算DTFT的有关函数: abs, angle,unwrap,28,%Computation of Sequence DTFT b=1; a1=1 -0.9; a2=1 0.9; w=linspace(0,2*pi,512); X1=freqz(b,a1,w); X2=freqz(b,a2,w); plot(w/pi,abs(X1),w/pi,abs(X2),:); legend(alpha=0.9,alpha=-0.9);,29,30,习题DTFT的性质,