2019 届潮阳一中（理科数学）七校冲刺卷届潮阳一中（理科数学）七校冲刺卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1.设集合设集合，则，则( ) A. B. C. D. 2.若复数若复数 满足满足，则，则 的虚部为（的虚部为（ ） A. 5 B. C. D. -5 3.已知抛物线方程为已知抛物线方程为，则其准线方程为，则其准线方程为( ) A. B. C. D. 4.已知非零向量已知非零向量满足满足且且，则向量，则向量的夹角为的夹角为( ) A. B. C. D. 5.函数函数为奇函数，则为奇函数，则 ( ) A. B. C. D. 6.九章算术九章算术 “竹九节竹九节”问题：现有一根问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面 3 节节 的容积之积的容积之积 3 升，下面升，下面 3 节的容积之积为节的容积之积为 9 升，则第升，则第 5 节的容积为节的容积为( ) A. 2 升升 B. 升升 C. 3 升升 D. 升升 7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A. B. C. D. 8.2021 年广东新高考将实行年广东新高考将实行模式，即语文数学英语必模式，即语文数学英语必 选，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有选，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有 12 种选种选 课模式课模式.今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同 的概率的概率( ) A. B. C. D. 9.设设满足不等式组满足不等式组，则，则的最大值为（的最大值为（ ） A. 3 B. -1 C. 4 D. 5 10.如图所示，在著名的汉诺塔问题中，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘，如图所示，在著名的汉诺塔问题中，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘， 三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱.已知起始柱上已知起始柱上 套有套有 个圆盘，较大的圆盘都在较小的圆盘下面个圆盘，较大的圆盘都在较小的圆盘下面.现把圆现把圆 盘从起始柱全部移到目标柱上，规则如下：每次只能移盘从起始柱全部移到目标柱上，规则如下：每次只能移 动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的圆盘不能动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的圆盘不能 放在较小的圆盘上面，规定一个圆盘从任一根柱上移动放在较小的圆盘上面，规定一个圆盘从任一根柱上移动 到另一根柱上为一次移动到另一根柱上为一次移动.若将若将 个圆盘从起始柱移动到个圆盘从起始柱移动到 目标柱上最少需要移动的次数记为目标柱上最少需要移动的次数记为，则，则（ ） A. 33 B. 31 C. 17 D. 15 11.已知函数已知函数,若函数若函数在区间在区间2，4内有内有 3 个零点，个零点， 则实数则实数 的取值范围是（的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12.已知点已知点 O 为双曲线为双曲线 C 的对称中心，直线的对称中心，直线交于点交于点 O 且相互垂直，且相互垂直， 与与 C 交于点交于点， 与与 C 交于点交于点，若使得，若使得成立的直线成立的直线有且只有一对，则双曲线有且只有一对，则双曲线 C 的离心率的取值范的离心率的取值范 围是（围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.设函数设函数，则，则的值为的值为_ 14. 侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为_ 15.已知锐角已知锐角 满足方程满足方程，则，则_ 16.定义在封闭的平面区域定义在封闭的平面区域 内任意两点的距离的最大值称为平面区内任意两点的距离的最大值称为平面区 域域 的的“直径直径”.已知锐角三角形的三个顶点已知锐角三角形的三个顶点在半径为在半径为 1 的圆上，的圆上， 且且，分别以，分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半各边为直径向外作三个半圆，这三个半 圆和圆和构成平面区域构成平面区域 ，则平面区域，则平面区域 的的“直径直径”的最大值是的最大值是 _ 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每个试题为必考题，每个试 题考生题考生都必须作答都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：（一）必考题：60 分分 17.（本小题满分（本小题满分 12 分）已知锐角分）已知锐角面积为面积为 ，所对边分别是所对边分别是 ， ， ，平平 分线相交于点分线相交于点 ，且且. 求：（求：（1）的大小；的大小；来源来源:学科网学科网 （2）周长的最大值周长的最大值. 18. （本小题满分（本小题满分 12 分）已知斜三棱柱分）已知斜三棱柱的侧面的侧面与底面与底面 ABC 垂直，侧棱与底面垂直，侧棱与底面 所在平面成所在平面成角，角， 求证：平面求证：平面平面平面； 求二面角求二面角的的余弦值余弦值 19.（本小题满分（本小题满分 12 分）如图，点分）如图，点 为圆为圆 ：上一动点，过上一动点，过 点点 分别作分别作 轴，轴， 轴的垂线，垂足分别为轴的垂线，垂足分别为 ， ，连接，连接延长至点延长至点 ，使得，使得，点，点 的轨迹记的轨迹记 为曲线为曲线 . （1）求曲线）求曲线 的方程；的方程； （2）若点）若点 ， 分别位于分别位于 轴与轴与 轴的正半轴上，直线轴的正半轴上，直线与曲线与曲线 相交于相交于， 两点，试问在曲线两点，试问在曲线 上上 是否存在点是否存在点 ，使得四边形，使得四边形为平行四边形，若存在，求出直线为平行四边形，若存在，求出直线 方程；若不存在，说明理由方程；若不存在，说明理由. 20.（本小题满分（本小题满分 12 分）某水果种植基地引进一种新水果品种，经研究发现该水果每株的产分）某水果种植基地引进一种新水果品种，经研究发现该水果每株的产量量 （单位：（单位：）和与它）和与它“相近相近”的株数的株数 具有线性相关关系（两株作物具有线性相关关系（两株作物“相近相近”是指它们的直线距离不是指它们的直线距离不 超过超过） ，并分别记录了相近株数为，并分别记录了相近株数为 0，1，2，3，4 时每株产量的相关数据如下：时每株产量的相关数据如下： 0123来源来源:学学&科科&网网4 15121198 （1）求出该种水果每株的产量）求出该种水果每株的产量 关于它关于它“相近相近”株数株数 的回归方程；的回归方程； （2）有一种植户准备种植该种水果）有一种植户准备种植该种水果 500 株，且每株与它株，且每株与它“相近相近”的的株数都为株数都为，计划收获，计划收获 后能全部售出，价格为后能全部售出，价格为 10 元元，如果收入（收入，如果收入（收入=产量产量价格）不低于价格）不低于 25000 元，则元，则的最大值的最大值 是多少？是多少？ （3）该种植基地在如图所示的直角梯形地块的每个交叉点（直线）该种植基地在如图所示的直角梯形地块的每个交叉点（直线 的交点）处都种了一株该种水果，其中每个小正方形的边长和直角的交点）处都种了一株该种水果，其中每个小正方形的边长和直角 三角形的直角边长都为三角形的直角边长都为，已知该梯形地块周边无其他树木影响，已知该梯形地块周边无其他树木影响， 若从所种的该水果中随机选取一株，试根据（若从所种的该水果中随机选取一株，试根据（1）中的回归方程，）中的回归方程， 预测它的产量的分布列与数学期望预测它的产量的分布列与数学期望. 附：回归方程附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：， . 21.（本小题满分（本小题满分 12 分）已知函数分）已知函数（ 为自然为自然对数的底数，对数的底数， 为常数，并且为常数，并且 ）. （1）判断函数）判断函数在区间在区间内是否存在极值点，并说明理由；内是否存在极值点，并说明理由； （2）若当）若当时，时，恒成立，求整数恒成立，求整数 的最小值的最小值. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记 分分.作答时用作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上. 22.（本小题满分（本小题满分 10 分）选修分）选修 4-4：坐标系与参数方程：在平面直角坐标系：坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，已知曲线中，已知曲线 ： （ 为参数）为参数） ，在以坐标原点，在以坐标原点 为极点，以为极点，以 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线 的极坐标方程为的极坐标方程为. （1）求曲线）求曲线 的普通方程和直线的普通方程和直线 的直角坐标方程；的直角坐标方程； （2）求曲线）求曲线 与直线与直线 交点的极坐标（交点的极坐标（，）. 23.（本小题满分（本小题满分 10 分）已知分）已知使不等式使不等式成立成立. （1）求满足条件的实数）求满足条件的实数 的集合的集合 ； （2）若）若，不等式，不等式恒成立，求恒成立，求的取值范围的取值范围. 20192019 届潮阳一中（理科数学）七校冲刺卷参考答案届潮阳一中（理科数学）七校冲刺卷参考答案 1-6:BCCCDD1-6:BCCCDD 7-12:DCCDDD7-12:DCCDDD 13.13. 14. 15. 16. 17.解解:（1） ， ，2 分分 故：故：.5 分分 （2）设）设周长为周长为 ，则，则，6 分分 、分别是分别是、的平分线，的平分线， . 由正弦定理由正弦定理得得，8 分分 ， .10 分分 ， ， 当当时，时，周长的最大值为周长的最大值为.12 分分 19. 解解:（1） 平面平面平面平面且平面且平面平面平面，且，且， 平面平面，2 分分 ，又，又 ， 平面平面，4 分分 平面平面， 平面平面平面平面.5 分分 （2）已知斜三棱柱）已知斜三棱柱的侧面的侧面与底面与底面垂直，侧棱与底面所在平面成垂直，侧棱与底面所在平面成， ，6 分分 又又 ，如图建立空间直角坐标系，如图建立空间直角坐标系7 分分 ，由，由，得，得 ，8 分分 设平面设平面，平面，平面的法向量分别为的法向量分别为 ，