2015年温州中学自主招生数学模拟试卷一、选择题（每小题5分，共30分）1、如图是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：cm）将它们拼成如图的新几何体，则该新几何体的体积为 （ ） cm3 A、48 B、50 C、58 D、602、已知实数满足，则的最大值是（ ）A、1 B、 C、2 D、3、如图1，矩形ABCD中，AD5，AB10，E、F分别为矩形ABCD外的两点，BEDF4，AFCE3，则EF（ ）A、 B、 C、 D、4、如图2，已知O为坐标原点，位于第一象限的点A在反比例函数的图象上，位于第二象限的点B在反比例函数的图象上，且OAOB，则（ ）A、 B、 C、 D、5、如果方程的三个根可以作为一个等腰三角形的三边长，则实数的值为（ ）A、3 B、4 C、5 D、66、用表示不超过实数的最大整数，如。若正整数满足，则称为“好数”，那么在12014这2014个正整数中好数有（ ）A、 B、 C、 D、二、填空题（每小题6分，共48分）7、已知，则_。8、关于的不等式的解集为全体实数，则实数应满足的条件为_。9、已知是质数，均为整数，则方程的解的个数是_。10、已知均为实数，代数式取最小值时，则_。11、如图3，两个同心圆O，小圆的半径为1，大圆的半径为，点A为小圆上的动点，P、Q是大圆上的两个动点，且APAQ，则PQ的长的最大值是_。12、如图4，在直角坐标系中，圆O是以坐标原点为圆心，半径为1的圆，直线的方程为，在L上任取一点P作圆O的切线，切点为T，则PT长的最小值是_。13、由数字1，2，3， 4，5，6，7组成一个无重复数字的七位正整数，从中任取一个，所取的数满足首位为1且任意相邻两位的数字之差的绝对值不大于2的概率等于_。14、设是一个边长为的三角形，其面积为；记是由原三角形的三条高组成的三角形，其面积记为；进一步，记是由三角形的三条高组成的三角形，其面积记为，已知，则的值为_。2015年温州中学自主招生数学模拟试卷答题卷一、选择题（每小题5分，共30分）题号123456答案二、填空题（每小题6分，共48分）7、_ 8、_9、_10、_11、_12、_12、_13、_14、_三、解答题（本大题共5小题，满分72分，其中15、16、17各12分、18、19各18分）15、二元二次方程组有两个实数解和，其中，且，求常数的值。16、如图5，在锐角ABC中，A，ABAC，O、G分别为ABC的外心和重心，E为边BC的三等分点，且CE2BE。证明：OGE。17、正整数满足：，求的值。18、已知为实数，若关于的不等式的解为，求的取值范围。19、如图，已知BE、CF是锐角ABC的两条高，经过A、F的两个圆分别与BC相切于点P、Q，点B位于C、Q之间。证明PE与QF的交点X在AEF的外接圆上。2015年温州中学自主招生数学模拟试卷参考答案姓名_一、选择题（每小题5分，共30分）题号123456答案DACABB6、解：设，则，于是，又由，故，符合条件的有40个，即符合条件的好数有40个。二、填空题（每小题6分，共48分）7、_1_ 8、 _ 9、_5_10、_3_11、_4_ 12、_ 13、_14、_45_9、【解析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是字1，2，3，4，5，6，7组成一个无重复数字的七位正整数，共有A77种结果，满足条件的事件是首位为1且任意相邻两位的数字之差的绝对值不大于2，对于数字1234567，以这个为标准，在这个数字基础上变化出符合条件的数字，满足条件的有1234567，1234576，1234657，1234675，1235467， 1235764，1243567，1243576，1324567，1324576，1324657， 1324675，1246753，1357642共14种结果，要求的概率是，故答案为。14、因为，且，所以，故，相似比为，故，所以，。三、解答题（本大题共5小题，满分72分，其中15、16、17各12分、18、19各18分）15、二元二次方程组有两个实数解和，其中，且，求常数的值。解：把代入，得；（5分）由方程组，消去，得，由韦达定理得， 从而，（12分）16、如图5，在锐角ABC中，A，ABAC，O、G分别为ABC的外心和重心，E为边BC的三等分点，且CE2BE。证明：OGE。证明：如图6，在ABC的同侧作正A/BC，设BC的中点为M，连结MA，MA/， AA/，则M、O、A/，M、G、A分别三点共线，且。故GOAA/且GEAB。3和OGE同向，所以，3OGE。由1BAC，得B、C、A、A/四点共圆，所以，32，故OGE。17、正整数满足：，求的值。解：当时，；当时，。当时，（舍去）；当时， ，时，；当时，由，得及，综上，18、已知为实数，若关于的不等式的解为，求的取值范围。解：当时，令，则直线过点（）与（）或过点（）与（）符合要求。当时，令，则二次函数的图象过点（）与（）（如下左图），故有，易知，所以；当时，令，则二次函数的图象过点（）与（）（如下右图），故有，易知，所以，综上的取值范围为。19、如图，已知BE、CF是锐角ABC的两条高，经过A、F的两个圆分别与BC相切于点P、Q，点B位于C、Q之间。证明PE与QF的交点X在AEF的外接圆上。证明：如图5，设BC边上的高AG与BC交于点G，连结AQ。则，因此，。由AGBC，BEAC，知A、B、G、E四点共圆，同理，A、F、G、C四点共圆。故,从而A、E、P、Q四点共圆，所以，CPEQAE。弦切角定理得BQFBAQ，故FAEQAEQAFCPEPQFQXPFXE，由此得A、F、E、X四点共圆，从而，PE与QF的交点在AEF的外接圆上。