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第六章 圆轴扭转, 课节61 扭转概念和扭转内力 课节62 扭转应力和强度计算 课节63 扭转变形和刚度计算,课节61 扭转概念和扭转内力,3.切应力互等定理,切应变是直角的微小改变量, 因值很小, bb/dx=tan 。 单位为rad。,一、剪切胡克定律,2.剪切胡克定律,1. 切应变 在构件内部某点k处,取一微元体,剪切时剪切面发生了相对错动(如图示)。线段bb称为绝对剪切变形。相距单位长度的两截面相对错动量为相对变形,称为切应变 。,实验表明:当 P时,切应力与该点处的切应变成正比关系(图d)。即 =G 式中G为材料的切变模量。,实验表明,构件内部相互垂直的截面上,切应力必成对存在,且大小相等,同时指向或背离截面交线(图b、c示)。,式中,外力偶矩M(Nm);功率p(kw) ;转速n(r/min),一、圆轴扭转实例与力学模型 图a中的传动轴AB,图b中水轮机的主轴等发生扭转变形。,圆轴扭转的受力特点:作用了一对等值、反向、作用平面平行的外力偶矩。变形特点:纵向线倾斜了角度,两端横截面绕轴线相对转动了一个角度,称为扭转角。,二、外力偶矩的计算,圆轴扭转的力学模型,将轴的受力进行简化,可以得到图示圆轴扭转的力学模型。,已知轴的转速n 和轴传递的功率p,则传递的外力偶矩为,四、扭矩图,三、扭转内力扭矩T,Mx(F)=0: T-M=0 T=M,图d为截面扭矩的正负规定。,从截面法求扭矩可以得出以下 结论:两外力偶矩作用截面之间各个截面的扭矩值相等。,以图示圆轴扭转的力学模型为例,用截面法,以m-m截面将轴截分为两段。取其左段列力偶平衡方程可得,T为截面的内力偶矩,称为扭矩。同理,也可取右段求出截面扭矩。,画出扭矩随着截面坐标x的关系曲线,称为扭矩图。,Mx(F)=0: T-M=0 T=M,结论:由此得出求截面扭矩的简便方法:圆轴任意截面的扭矩T(x),等于截面一侧(左段或右段)轴段上所有外力偶矩的代数和。,五、应用举例,解:1.求各段轴上的扭矩,BC段:用截面2-2截开轴,取左段,2.画出传动轴的扭矩图,例7-1 图示传动轴,输入外力矩M1=15kNm,输出的力偶矩为M2=6kNm ,M3=9kNm 。求各段横截面的扭矩并画出扭矩图。,AB段:用截面1-1截开轴,取左段,Mx(F)=0: T1+ M2=0,T1= -M2 =- 6kNm,Mx(F)=0: T2+M2- M1 =0,T2= -M2+ M1 =- 6+15=9kNm,2.求各段扭矩,解:1.计算外力偶矩,例7-2 图示传动轴,A轮输入功率PA=50kW,B、C轮输出功率PB=30kW,PC=20kW,轴的转速n=300r/min。1)画轴的扭矩图,并求Tmax。2)若将轮A置于B、C轮之间,哪种布置较合理?,4.将轮A置于B、C轮之间,画扭矩图(图c) 得| Tmax|2=955Nm | Tmax|1,3.画传动轴的扭矩图(图b),AB段:T1= MA=1592Nm,BC段:T2= MA- MB=1592-955=637Nm,| Tmax|1=1592Nm,可见,后一种布置较前种布置合理。由此得出:在轮系的各种布置中,最大扭矩最小的布置为轮系的合理布置。,从轴的左端画起:,六、扭矩图的简便画法,将轮A置于B、C轮之间,画扭矩图,外力偶矩作用截面处,扭矩图有突变,突变幅值等于外力偶矩大小,突变方向沿外力偶矩箭头方向。,无外力偶矩作用的轴段上,扭矩保持常量。,-955Nm,637Nm,本课节小结 一、剪切胡克定律 切应变相距单位长度的两截面相对错动的位移量。 剪切胡克定律 在剪切的弹性范围内,切应力与该点处的切应变成正比关系。 =G 切应力互等定理 构件内部相互垂直的截面上,切应力必成对存在,且大小相等,同时指向或背离截面交线。 二、外力偶矩的计算 三、扭转内力扭矩T 扭矩圆轴扭转时横截面的内力偶矩。 结论1:两外力偶矩作用截面之间各个截面的扭矩值相等。 结论2:圆轴任意截面的扭矩T(x),等于截面一侧(左段或右段)轴段上所有外力偶矩的代数和。 四、扭矩图 轮系的合理布置在轮系的各种布置中,最大扭矩最小的布置。,课后作业:建筑力学练习册 练习十六, 课节62 扭转应力和强度计算,1)各圆周线-形状、大小及间距不变,分别绕轴线转动了不同的角度。 2)各纵向线倾斜了相同角度。,一、扭转应力,2.平面假设 假定横截面始终保持为平面。,结论:在平面假设的基础上,分析观察现象可推知,圆轴扭转变形时横截面象刚性平面一样,绕轴线相对转动。,1. 实验观察 在圆轴表面刻划出纵向线和圆周线。观察到如下现象:,(1)截面间距不变,横截面上无正应力作用。,(2)横截面绕轴线转动了不同的角度,相邻横截面产生了相对转角d,即横截面间发生旋转式的相对错动,发生了剪切变形,截面上有切应力存在。,从图a可看出,截面上距轴线愈远的点,相对错动的位移愈大,说明该点的切应变愈大。,最大切应力发生在截面圆周边缘处,即=D/2时,其值为 (7-3),从变形几何关系和静力学平衡关系可知:横截面任一点的切应力与扭矩T成正比,与该点到轴线的距离成正比,与截面的极惯性矩Ip成反比,其切应力公式为:,4.切应力公式,W称为抗扭截面系数,(7-2),二、极惯性矩和抗扭截面系数,三、圆轴扭转的强度计算,2.空心圆截面 设外径为D,内径为d,取内外径之比d/D=。则,1.实心圆截面 设直径为D,则,扭转切应力强度准则,对于等截面圆轴,最大切应力一定发生在扭矩最大的截面上;而对于阶梯轴,由于各段截面的WP不同,最大切应力因此需综合考虑W和T两个量来确定。,四、应用举例 例7-3某汽车的传动轴AB由45号无缝钢管制成。轴外径D=90mm,壁厚t=2.5mm,传递最大力矩M=1.5 kN m, =60MPa。试:1)校核轴的强度,2)若改用同材料实心轴,要求和原轴强度相同,试设计其直径D1。3)比较实心轴和空心轴的重量。,解:1.校核强度 Tmax= 1.5kNm,2.设计实心轴的直径D1 由于两轴的扭矩相同,强度相同,则其抗扭截面系数相等,3.比较两轴重量 设实心轴重G1,空心轴G,那么重量比为。,轴的强度满足。,计算表明,等强度条件下,空心轴比实心轴节省材料。,本课节小结,二、极惯性矩和抗扭截系数,三、圆轴扭转的强度计算,一、扭转应力 横截面任一点的切应力与扭矩T成正比,与该点到轴线的距离成正比,与截面的极惯性矩Ip成反比。,1.实心圆截面,2.空心圆截面,课后作业:建筑力学练习册 练习十七, 课节63 扭转变形和刚度计算,一、圆轴扭转时的变形,实验表明:在剪切的弹性范围内,两端截面间的相对扭转角与扭矩T成正比,与轴长l成正比,与截面的极惯性矩Ip成反比。即,三、刚度计算的三类问题 应用圆轴扭转的刚度准则,可以解决三类问题,即校核刚度、设计截面和确定许可载荷。,二、刚度计算 相对扭转角单位轴长的扭转角 。,扭转角两横截面绕轴线相对转动过的角度。,(7-5) 式中 GIP称为圆轴的抗扭刚度。,刚度准则 圆轴扭转时,既要满足强度准则,还要求不产生过大的变形。即最大相对扭转角 不超过许用扭转角。得 (7-6),四、应用举例 例7-4 图示的传动轴,已知M1=640Nm,M2=840Nm,M3=200Nm,切变模量 G=80GPa,求截面C相对于A的扭转角。,各段轴上的扭矩 AB段:T1=640Nm BC段:T2=-200Nm,2.求扭转角AC,解: 1.画轴的扭矩图,-200Nm,640Nm,例7-5图示传动轴,n=300r/min,输入力矩MC=955 Nm,输出MA=159.2 Nm,MB=318.3 Nm,MD=477.5Nm,已知G=80GPa =40MPa, =1/m,试按强度和刚度准则设计轴的直径。,各段轴上的扭矩,解: 1.画轴的扭矩图,2.按强度设计轴径d,3.按刚度设计轴径d,所以,轴直径d=43mm,AB段:T1= -159.2Nm,BC段:T2=-477.5Nm,CD段:T3=477.5Nm,由强度准则 得,由刚度准则 得,Tmax=477.5Nm,本课节小结,二、刚度计算,三、刚度计算的三类问题,一、圆轴扭转时的变形 扭转角两横截面绕轴线相对转动过的角度。,刚度准则,应用圆轴扭转的刚度准则,可以解决三类问题,即校核刚度、设计截面和确定许可载荷。,课后作业:建筑力学练习册 练习十八,
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