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莆田六中2017届高三12月月考理科数学命题人:莆田六中高三备课组 满分:150分 考试时间:120分钟一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。每小题有且只有一项是符合题目要求的)1.已知集合,则( )ABCD2.已知实数满足,其中是虚数单位,则 ( )A3 B 2 C5 D3.已知等差数列的前项和为,若,则等于( )A B C1 D4 4“”是“关于的方程组无解”的( )条件。A充分但不必要 B必要但不充分 C充分 D既不充分也不必要5.设是互不垂直的两条异面直线,则下列命题成立的是 ( )A存在唯一直线,使得,且 B存在唯一直线,使得,且 C存在唯一平面,使得,且 D存在唯一平面,使得,且6在中,则的面积是( )A B C D7.如图,周长为1的圆的圆心在轴上,顶点,一动点从开始逆时针绕圆运动一周,记走过的弧长,直线与轴交于点,则函数的图像大致为( )8.九章算术中,将底面是直角形的直三棱柱称之为“堑堵” ,已知某“堑堵”的三视图如图所示,俯视图中虚线平分矩形的面积,则该 “堑堵”的侧面积为( ) . A. 2 B. C. D. 9. 已知满足,若不等式恒成立,则实数的取值范围是( ). A. B. C. D. 10.已知非零向量的夹角为,且满足,则的最大值为( )A B C D11.已知点是椭圆上的动点,且,则的取值范围是( ). A. B. C. D. 12德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名字命名的函数称为狄利克雷函数,则关于这个函数有以下四个命题:; 函数是偶函数;存在一个非零实数,使得对任意恒成立;存在三个点, ,使得为等边三角形。其中真命题的个数是( ) A4 B3 C2 D1二、 填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13,则_14已知数列满足对任意的,都有,又,则_.15已知关于的不等式有且只有一个整数解,则实数的取值范围是_16.已知等边三角形的边长为,分别为的中点,沿将折成直二面角,则四棱锥的外接球的表面积为_.三、解答题:本大题共6小题,选作题10分,其它每题12分,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。17已知是数列的前项和,且()(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和。18., 为单位圆上的按逆时针排列的两个动点,且ABxyO(1)若,求的值。(2)若在第一象限,求的取值范围。19(本小题满分10分)在如图所示的四棱锥中,(1)在棱上确定一点,使得平面,保留作图痕迹,并证明你的结论。(2)当平面且点为线段的三等分点(靠近)时,求二面角的余弦值20设椭圆()的右焦点为,右顶点为,已知,其中为原点,为椭圆的离心率。(1)求的值;(2)动直线过点,与椭圆交于、两点,求面积的最大值。21已知函数(1)求函数的单调区间;(2)若方程有两个相异实根,且,证明:.请考生在第22、23二题中任选一题作答。注意:智能做所选定的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22已知极点与直角坐标系原点重合,极轴与轴正半轴重合,圆的极坐标方程为(),直线的参数方程为(为参数)。(1)若,直线与轴的交点为,是圆上一动点,求的最大值。(2)若直线被圆截得的弦长等于圆的半径的倍,求的值。23选修4-5:不等式选讲设函数,(1)求不等式的解集;(2)若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围。莆田六中2017届高三12月月考理科数学参考答案一、选择题1-5:CDBAC 6-10:DDCAB 11-12:BA二、填空题13、3 14、255 15、 16、三、解答题(17) () ,当n2时,两式相减得.2分MNMN又当n=1时,. 3分 数列是首项为2,公比为3的等比数列. 4分 数列的通项公式为.6分()由可得,8分,9分 .10分.12分18.解:(1)由已知设x轴正半轴为始边,OA为终边的角为,则终边为的角为。1分又点所以,2分所以4分 5分6分(2)7分9分因为在第一象限,所以可设,所以,11分所以的取值范围为。12分19.解:(1)满足。1分证明如下:取SA,SD上的点M,N,使得2分连结BM,MN,NC。在SAD中,则MNAD,且又由已知可得BCAD,且,所以BCMN且BC=MN,即四边形MNCB为平行四边形。4分故BMCN。又CN平面SCD,BM平面SCD。所以BM平面SCD。6分证法二:取AS,AD上的点M,N,使得2分 连结BM,MN,BN。在SAD中,所以MNSD3分在四边形BCDN中,BC=DN,BCDN,所以四边形为平行四边形,则BNCD4分又MNSD,MNBN=N,SDCD=D,所以平面MNB平面SCD,5分又BM平面MNB,所以BM平面SCD。6分(2)底面,AB、AD、AS两两垂直以为原点,AB、AD、AS所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系(如图),7分则,E为线段BS的三等分点(靠近B),解得8分设平面SCD的一个法向量是,平面CDE的一个法向量是,即,即,取,9分,即,即,取,10分设二面角的平面角大小为,由图可知为锐角, 11分 12分即二面角S-CD-E的余弦值为 20.解:(1)由椭圆的几何性质可得,1分由得,所以2分又,即,3分 联立解得。4分(2)由题可知与轴不重合,故可设的方程为。联立方程解得5分因直线与椭圆由相异交点,所以,解得或6分又 7分8分10分(注:写出面积公式就1分)令,则,11分当且仅当即时取等号(此时),所以所求面积的最大值是。12分21.解:(1)的定义域为 1分 2分 当时 所以 在递增 当时 所以 在递减 3分 (2)由(1)可设的两个相异实根分别为,满足且, 4分由题意可知 5分又有(1)可知在递减故 所以 6分令 8分令,则当时,是减函数,所以9分所以当时,即 10分因为, 在上单调递增,所以,故 11分综上所述: 12分22.解:(1)当时,圆的极坐标方程为,即,1分化为直角坐标方程为,即。所以圆心,半径2分直线的普通方程为,3分 与轴交点的坐标为4分所以 5分(2)由可得圆的普通方程为 6分直线被圆截得的弦长等于圆的半径的倍,由垂径定理及勾股定理可得:圆心到直线的距离为圆半径的一半。8分 9分 解得或10分23解:(1)依题意:原不等式可化为 1分当时,解集为空集; 2分当时,解得; 3分当时,解得。 4分综上所述,所求不等式解集为 5分(2)不等式在R上恒成立等价于在R上恒成立6分记,则7分当且仅当时取等号,9分即10分注:本题用图像法一样给分。
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