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5/29/2019,第4章 稳定性与李雅普诺夫方法,4.3 李雅普诺夫第二法,5/29/2019,4.3 李雅普诺夫第二法,李氏第二法(直接法):通过构造李氏函数,从能量的角度直接判断系统稳定性。,思路:对于一个给定的系统,如果能够找到一个正定的标量函数V(x)(广义能量函数),显然可以根据该函数的导数 来确定能量随着时间的推移是减小的,还是增加的,或者是保持不变的。,5/29/2019,(3) ,则称 是负定的。,4.3 李雅普诺夫第二法,1. 标量函数符号性质,设 是向量 x 的标量函数,且在 x=0 处,恒有 对所有在定义域中的任何非零向量 x,如果成立:,4.3.1 预备知识,(1) ,则称 是正定的。,(2) ,则称 是半正定(非负定)的。,(4) ,则称 是半负定(非正定)的。,(5) ,或 则称 是不定的。,5/29/2019,例 设,4.3 李雅普诺夫第二法,5/29/2019,2. 二次型标量函数,二次型标量函数可写为,其中,P为实对称矩阵。,例如:,4.3 李雅普诺夫第二法,5/29/2019,二次型函数,若P为实对称阵,则必存在正交矩阵T, 通过变换 ,使之化为:,此称为二次型函数的标准型, 为P的特征值,则 正定的充要条件是P的特征值 均大于0。,4.3 李雅普诺夫第二法,5/29/2019,矩阵P的符号性质定义如下: 设 P 为nn实对称阵, 为由 P 决定的二次型函数,则 (1) 正定,则 P 正定矩阵,记为 P0; (2) 负定,则 P 负定矩阵,记为 P0; (3) 半正定,则 P 半正定矩阵,记为 P0; (4) 半负定,则 P 半负定矩阵,记为 P0;,4.3 李雅普诺夫第二法,5/29/2019,3、希尔维斯特判据 设实对称阵 为其各阶顺序主子式,即 矩阵P或V(x)定号性的充要条件是:,4.3 李雅普诺夫第二法,5/29/2019,(2)若 ,则 P 负定;,(1)若 , 则 P 正定;,(3)若 ,则 P 半正定;,(4)若 ,则 P 半负定;,4.3 李雅普诺夫第二法,5/29/2019,解:二次型 可以写为,例 证明如下二次型函数是正定的。,可见此二次型函数是正定的,即,4.3 李雅普诺夫第二法,5/29/2019,定理 设系统的状态方程为 如果平衡状态 即, 如果存在标量函数V(x)满足: 1) 对所有x具有一阶连续偏导数。 2) 是正定的; 3)若 是半负定的。 则平衡状态 为在李亚普诺夫意义下的稳定。,4.3.2 几个稳定性判据,4.3 李雅普诺夫第二法,5/29/2019,4.3.2 几个稳定性判据,定理 设系统的状态方程为 如果平衡状态 即, 如果存在标量函数V(x)满足: 1) 对所有x具有一阶连续偏导数。 2) 是正定的; 3)若 是负定的;或者 为半负定,对任意初始状态 ,除去x=0外,有 不恒为0。 则平衡状态 是渐近稳定的。 进一步当 ,有 ,则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。,4.3 李雅普诺夫第二法,5/29/2019,4.3.2 几个稳定性判据,定理 设系统的状态方程为 如果平衡状态 即, 如果存在标量函数V(x)满足: 1) 对所有x具有一阶连续偏导数。 2) 是正定的; 3)若 是正定的。 则平衡状态 是不稳定的。,4.3 李雅普诺夫第二法,5/29/2019,说明: (1) ,则此时 ,系统轨迹将在某个曲面上,而不能收敛于原点,因此不是渐近稳定。 (2) 不恒等于0,说明轨迹在某个时刻与曲面 相交,但仍会收敛于原点,所以是渐近稳定。 (3)稳定判据只是充分条件而非必要条件!,4.3 李雅普诺夫第二法,5/29/2019,解: 显然,原点 是系统平衡点, 取 ,则 又因为当 时, 有 ,所以系统在原点处 是大范围渐近稳定的。,例4-4 已知系统 试用李雅普诺夫第二方法判断其稳定性。,4.3 李雅普诺夫第二法,5/29/2019,【例 4-5】已知系统的状态方程,试分析平衡状态的稳定性。 解:线性系统,故 是其唯一平衡点。 将矩阵形式的状态方程展开得到: 取标量函数(李雅谱诺夫函数):,且当 时, ,,4.3 李雅普诺夫第二法,半负定,不恒为0,渐近稳定。,所以系统在其原点处大范围渐近稳定。,5/29/2019,另选一个李雅普诺夫函数:,当 时, ,所以系统在其原点处大范围渐近稳定。,4.3 李雅普诺夫第二法,5/29/2019,解: 系统具有唯一的平衡点 。取 则 于是知系统在原点处不稳定。,例4-8 系统的状态方程为 试确定系统在其平衡状态的稳定性。,4.3 李雅普诺夫第二法,5/29/2019,4.3.3 对李雅谱诺夫函数的讨论 (1) V(x)是正定的标量函数,V(x)具有一阶连续偏导数; (2)并不是对所有的系统都能找到V(x)来证明该系统稳定或者不稳定; (3)V(x)如果能找到,一般是不唯一的,但关于稳定性的结论是一致的; (4)V(x)最简单的形式是二次型 ; (5)V(x)只是提供平衡点附近的运动情况,丝毫不能反映域外运动的任何信息; (6)构造V(x) 需要一定的技巧。,4.3 李雅普诺夫第二法,
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