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19.3 抛物线1、抛物线 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( )24xy(A) (B) (C) (D)06765872、设 a0, aR,则抛物线 y=4ax2的焦点坐标为 ( )(A)( a,0) (B)(0, a) (C)(0, ) (D)随 a 符号而定a13、焦点坐标为 的抛物线的标准方程为( )2,(A) (B) (C) (D) 24yx8yx24yx28yx4、 (2008 年海南卷)已知点 P 在抛物线 y2 = 4x 上,那么点 P 到点 Q(2,1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为( A )A. ( ,1) B. ( ,1) C. (1,2) D. (1,2)445、抛物线 上有一点 ,它的横坐标是 3,它到焦点的距离为 5,则抛物2(0)yaxM线的方程为( )(A) (B) (C) (D) 282120yx216yx6、已知 为抛物线 上任一动点,记点 到 轴的距离为 ,对于给定点 ,P4yxPd(4,5)A则 的最小值为( )|Ad(A) (B) (C) (D)43173417、已知圆 与抛物线 的准线相切,则20xym2()xy_.8、 (2007 年山东卷)设 O 是坐标原点,F 是抛物线 y2=2px(p0)的焦点,A 是抛物线上的一点, 与 x 轴正向的夹角为 60,则 为 .FAOA9、设 是抛物线 上的一动点,P24y(1)求点 到点 的距离与点 到直线 的距离之和的最(1,)P1x小值;(2)若 ,求 的最小值.(3,2)B|F210、已知抛物线 的顶点在原点,焦点 在 轴的正半轴上,设 是抛物线 上的两CFx,ABC个动点( 不垂直于 轴),但 ,线段 的垂直平分恒经过定点ABx|8AB,求抛物线的方程。6,0)Q11、设抛物线 y22 px( p0)的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于 A、 B 两点,点 C在抛物线的准线上,且 BC x 轴,证明直线 AC 经过原点 O.12、 已知抛物线 的焦点为 F,A 是抛物线上横坐标为 4、且位于 轴上)0(2pxy x方的点,A 到抛物线准线的距离等于 5.过 A 作 AB 垂直于 轴,垂足为 B,OB 的中点为 M.y(1)求抛物线方程;(2)过 M 作 ,垂足为 N,求点 N 的坐标;F(3)以 M 为圆心,MB 为半径作圆 M,当 是 轴上一动点时,讨论直线 AK 与)0,(mKx圆 M 的位置关系.3答案 : 1、B 2、C 3、 4、 5、 6、 7、 8、 621p9、解:(1)由于 , , 为抛物线上任意一点,(1,)A(,0)FP则 ,从而知点 到点 的距离与点 到2| 5P(1,)AP的距离之和的最小值为 ,所以点 到点 的距离与点 到直线 的(1,0)F 1x距离之和的最小值也为 .(2)如图所示,自点 作 垂直于抛物线的准线于点 ,BQQ交抛物线于点 ,此时, ,1P1|PF那么 ,即最小值为 4.|4F10、解:设抛物线的方程为 ,其准线为 .2(0)ypx2px设 , ,即 .12(,)(,)AxyB1|8,8ABF128xp在线段 的中垂线上,60Q22()0xxp与 轴不垂直, ,x12x故 ,即 .1280pp4从而抛物线方程为 .2yx11、解法一:设直线方程为 y k(x )A(x1, y1), B(x2, y2), C(2, y2). p ,0,)(222 pkypxyk Q O FP1 B(3,2)yx4 又 y122 px1 kOC kOA2121, pykxpyOCA 1xy即 k 也是直线 OA 的斜率,所以 AC 经过原点 O.当 k 不存在时, AB x 轴,同理可得 kOA kOC,所以 AC 经过原点 O.解法二:因为抛物线 y22 px( p0)的焦点为 ,由于直线 斜率不为 0,所以(,0)2pFAB经过点 的直线 的方程可设为 ,代入抛物线方程消去 得FABxmyx.若记 ,则 是该方程的两个根,所以22ypm12(,)(,)B12,y,因为 轴,且点 在准线 上,所以点 的坐标 ,12/CxpxC2(,)py故直线 的斜率为 ,O21ypk即 也是直线 的斜率,所以直线 经过原点 .kAAO解法三:如图,过 A 作 AD l, D 为垂足,则: AD EF BC连结 AC 与 EF 相交于点 N,则 |,| BFCBDE由抛物线的定义可知:| AF| AD|,| BF| BC| EN| | NF|.|AFA即点 是 的中点,与抛物线的顶点 重合,所以直线 经过原点 .NEOACO12、解:(1)抛物线 2,54,22 ppxpy于 是的 准 线 为抛物线方程为 y2= 4x.(2)点 A 的坐标是(4,4) , 由题意得 B(0,4) ,M(0,2) ,又F(1,0) , ,3,;3NFAkk则 FA 的方程为 y= ( x1) ,MN 的方程为 .xy解方程组 ).54,8(54,32)(4yxy得(3)由题意得,圆 M 的圆心是点(0,2) ,半径为 2.当 m=4 时,直线 AK 的方程为 x=4,此时,直线 AK 与圆 M 相离,当 m4 时,直线 AK 的方程为 即为),(mxy,04)(4myx5圆心 M(0,2)到直线 AK 的距离 ,令2)4(16|8|md1,md解 得时,直线 AK 与圆 M 相离;1m当当 m=1 时,直线 AK 与圆 M 相切;当 时,直线 AK 与圆 M 相交.
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