物理常数物理常数. 普朗克常量 h=6.62610-34 Js，= h/2, 里德伯常量 R=1.09710-7 m-1， 真空中光速c=3108 m/s, 真空介电常数0 =8.8510-12 F/m， 真空磁导率 0 =410-7 H/m， 电子质量 me =9.1110-31 kg， 电子电量 e =1.6 10-19 C, 质子质量 mp = 1.6710-27 kg. 17 真空中的静电场真空中的静电场 P27 17-1. 三个相同的点电荷放置在等边三角形的顶点上. (1) 在此三角形的心应放 置怎样的电荷, 才能使作用在每一点电荷上的合力为零? (2) 这样的平衡是否 是稳定平衡? a a/2 3 2/ 2 3 30cos a OA OA a .:? .,(, 00)( , 0)( ).(,( ., 03 ., ., 0;, 0*)( ; 0)(: ),(; 3 3 0 )3( 2 3 ) 3 ( 2 1 2 3 030sin60sin: 030cos60cos: : .; 0)30sin2(: 030cos30cos: 0., * 0 0 2 0 2 0 2 00 U orff f F f f CBqFF q a q b a q b a qq bFF FFy FFFx FFFFFA FFy FFx FFqOcentrethein Ax AxAy AxAy OAB OABAB OACABAiA ii ii iO 电势电势下周定义下周定义哪个哪个 就好了就好了它若是哪个函数的极值它若是哪个函数的极值稳定性分析稳定性分析 各顶点受力各分量为各顶点受力各分量为可以在那里放电量不同可以在那里放电量不同 不稳定平衡不稳定平衡极大值极大值 数正的就是不稳定的数正的就是不稳定的那就是只要有一个偏导那就是只要有一个偏导如果是多元函数如果是多元函数 稳定稳定小于小于不稳定不稳定处的导数处的导数在这个在这个决定于决定于 这个平衡点的稳定这个平衡点的稳定一个函数一个函数物理系统的平衡决定于物理系统的平衡决定于这里这里 的分析完全一样的分析完全一样对对 顶点顶点 中心放任意电荷都可以中心放任意电荷都可以 有有放置电量放置电量 q0 x y A B C 稳定性细节参考课程讨论区的贴子稳定性细节参考课程讨论区的贴子: “17-1题目的概念题目的概念: 平衡状态及其稳定性”平衡状态及其稳定性” 17 真空中的静电场真空中的静电场 P27 17-2. 一个很小的带电油滴在均匀电场中, 电场力与重力平衡. 若 油滴半径1.64E-4cm, 密度0.851g.cm-3; E=1.92E5V.m-1. eqCe C smcmcmkg q E gR qRmEqmg 5106022. 11 10025545. 8102554535.80 1092. 1 )/(8 . 9*)1064. 1(* 3 4 *)/(10851. 0 3 4 , 3 4 : 19 1954443 5 23433 3 3 重力与电场力平衡重力与电场力平衡 17 真空中的静电场真空中的静电场 P27 17-3. 半径为R, 电荷线密度为的半圆形带电线如图所示, 求圆 心O点的场强. R y x O i R b i R b ji R b j R d bi R d bE ji R Rd bEdE ji R Rd bEdO Rddldq O OdlO Odl 0 2/3 2/ 2/3 2/ 2/3 2/ 2/3 2/ 2/3 2/ 2 2/3 2/ 2 2 )2( cossin sincos )sin(cos: )sin(cos: ,: 求场强的矢量和求场强的矢量和 点的电场强度的元贡献点的电场强度的元贡献对对 小元弧的电荷小元弧的电荷微元法微元法 17 真空中的静电场真空中的静电场 P27 17-4. 如图所示, 匀强电场E与半径为R的半球面S1的轴线平行. 试计算此半球面的E通量. 若以半球面的边线为边, 另取一个任 意形状的曲面S2, 问S2的通量多大? ERERERSdE SS SSSR E SS S S SSS 222 20 100 21 0 0 210 , ., ;, , 可构成闭合曲面可构成闭合曲面与任意曲面与任意曲面 构成闭合曲面构成闭合曲面与半球面与半球面的圆为的圆为选取半径为选取半径为 通量为零通量为零合曲面内合曲面内高斯定理保证了任意闭高斯定理保证了任意闭 分布分布在讨论空间内无净电荷在讨论空间内无净电荷匀强电场匀强电场 S1 S2 17 真空中的静电场真空中的静电场 P27 17-5. (1)一点电荷q位于边长为a的立方体中心, 试问通过立方体 每一面的E通量多大? (2)如果电荷q移到该立方体的一个顶角上, 这时通过立方体每一面的E通量多大? 0 0 0 0 24 , , 4/1 . 6 , ,2 .,)2( . 6 , ,)1( q q a q q E 通量都等于通量都等于小立方体的其余三面的小立方体的其余三面的 面的对称性分析面的对称性分析根据电荷对大立方体单根据电荷对大立方体单 三面恰好是单面面积的三面恰好是单面面积的所求的小立方体的其余所求的小立方体的其余 等且都等于等且都等于且因对称性各面通量相且因对称性各面通量相闭合曲面闭合曲面 则其所有面构成则其所有面构成的立方体的立方体形成的一个边长形成的一个边长 构造对称的八个立方体构造对称的八个立方体若以此顶点为共同顶点若以此顶点为共同顶点 通量皆为零通量皆为零相交于此顶点的三个面相交于此顶点的三个面电荷位于顶点电荷位于顶点 相等且都等于相等且都等于六面中每一个面的通量六面中每一个面的通量 通量为通量为合曲面内总合曲面内总高斯定理保证了任意闭高斯定理保证了任意闭 等等且因对称性各面通量相且因对称性各面通量相曲面曲面立方体所有面构成闭合立方体所有面构成闭合 17 真空中的静电场真空中的静电场 P27 17-6. (1) 设地球表面附近的场强约为200V m-1.方向指向地心, 试求地球所带总电量. (2) 在离地面1400米处, 场强为20V m-1, 方向仍指向地心, 是计算1400米以下大气里平均电荷替密度. 3123175 31733 4 0 2 5 0 2 2212 0 6 0 2 /1014. 1101456. 7/10146. 8/ ,101456. 7 3 4 )1400( 3 4 1004. 9)1400(4 1400)2( 1005. 94 ),/(10854. 8,10371. 66371 4 ,)1( mCmCVq VqmRmRV CEmRqqE mR CERq mNCmkmR q ERE 大 气大 气大 气大 气 通量为得到通量为得到 半径的闭合球面内半径的闭合球面内在在高斯定理保证了对地心高斯定理保证了对地心 地球所带总电量地球所带总电量 通量为通量为面附近的闭合球面内面附近的闭合球面内高斯定理保证了地球表高斯定理保证了地球表 度的大小是球对称的度的大小是球对称的地球的球体表面电场强地球的球体表面电场强相对于地心相对于地心 17 真空中的静电场真空中的静电场 P27 17-7. 一厚度为d的无限大平板均匀带电, 电荷的体密度为 , 求 板内外的电场分布 ).2/( 2 ),2/( 2 , 2 2/*:)2( , 2/)2(:)1( ,),( , ., 00 0 0 00 0 dzk d Edzk d E d E SESdy kzEzzE ESSzy S Z 考虑方向考虑方向对称对称因为电场线关于中层面因为电场线关于中层面 高斯定理高斯定理处处板外距中线板外距中线 同同考虑方向与考虑方向与 高斯定理高斯定理处处板内距中线板内距中线 场强度对应的闭合曲面场强度对应的闭合曲面构造所讨论的位置的电构造所讨论的位置的电 一定厚度的长方体一定厚度的长方体面积面积取无限大的上下表面取无限大的上下表面 轴轴电场线沿电场线沿是电场为零的面是电场为零的面板的厚度中线所在平面板的厚度中线所在平面 对称性对称性激发的电场也具有平面激发的电场也具有平面场源具有平面对称性场源具有平面对称性 d z 17 真空中的静电场真空中的静电场 P27 17-8. 求电荷面密度为 的无限长均匀带电圆柱面(半径为R)的 场强分布, 并画出E-r曲线. rout in r e r R E rhERhrRr E ESrRr rh erzz 0 0 0 2 /2*:)2( 0 /0:)1( )()( , ., 高斯定理高斯定理处处距中线距中线 高斯定理高斯定理处处距中线距中线 构造对应的闭合曲面构造对应的闭合曲面半径半径的圆柱面的圆柱面取无限长取无限长 轴垂线轴垂线电场线沿所讨论位置到电场线沿所讨论位置到轴轴以圆柱中心轴线为以圆柱中心轴线为 对称性对称性激发的电场也具有圆柱激发的电场也具有圆柱场源具有圆柱对称性场源具有圆柱对称性 r z E R 0 17 真空中的静电场真空中的静电场 P27 17-9. 如图所示, 在半径分别为R1, R2的两个同心薄球面上均匀分布 着电荷Q1,Q2. (1)求I,II,III区的场强分布, (2)求I,II,III区的电势分布. )( 4 11 4 ) 11 ( 4 )(: )( 4 11 4 ) 11 ( 4 )(: 1 4 )(:, 1 4 )( ) 11 ( 444 )( , 1 4 )(:)4( 4 4 / )(:)3( 4 4 /:)2( 0/0:)1( , ., 2 21 020 21 20 1 2 2 1 1 020 21 210