第一讲 直线的方程与两条直线的位置关系,重点难点 重点：直线的倾斜角与斜率的概念 直线方程的各种形式及适用条件 两条直线平行与垂直的判定与应用 点到直线的距离、两点间的距离公式 难点：直线方程各种形式适用条件的掌握 含参数的直线位置关系的判定,知识归纳 1两点间的距离公式 (1)数轴上任意三点A、B、C具有关系ACABBC. (2)数轴上两点A、B的距离|AB|xBxA|. (3)平面上任意两点A(x1，y2)、B(x2，y2)间的距离|AB| 2以A(x1，y1)、B(x2，y2)为端点的线段AB的中点,3直线的倾斜角与斜率 (1)x轴正向与直线 的方向所成的角叫做直线的倾斜角，与x轴平行或重合的直线倾斜角为零度角因此，倾斜角的取值范围是0180. (2)斜率：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率倾斜角是90的直线，斜率不存在 当直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)时，若x1x2，则l的斜率 直线AxByC0(B0)的斜率,向上,4直线的方向向量 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的一个方向向量为 其坐标为(x2x1，y2y1)当斜率k存在时，一个方向向量的坐标为(1，k) 5直线方程的概念 如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线,6直线方程的各种形式 (1)点斜式：yy1k(xx1)表示经过点P1(x1，y1)且斜率为k的直线特例：ykxb表示过点(0，b)且斜率为k的直线，其中b表示直线在y轴上的截距该方程叫做直线方程的斜截式 (2)两点式： (x1x2且y1y2)表示经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线特例： 其中a，b分别表示直线在x轴、y轴上的截距，该方程叫做直线方程的截距式,(3)一般式：AxByC0(其中A，B不同时为0) (4)我们在平面向量中学过直线的向量表示式： A、B是直线l上任意两点，O是l外一点，直线l上任一点P对应的参数为t，则,7两直线的位置关系 对于直线l1：yk1xb1，l2：yk2xb2. l1l2 l1l2k1k2 . 对于直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20. l1l2A1B2A2B1且A2C1A1C2(或B1C2B2C1) l1l2A1A2B1B2 .,k1k2且b1b2,1,0,8两条直线的交点 如果两直线l1与l2相交，则交点的坐标一定是两条直线方程组成的方程组的解；反之，如果两直线方程组成的方程组只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是l1和l2的交点,(1)点P(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离 (2)求两平行线l1、l2距离的方法： 求一条直线上一点到另一条直线的距离 设l1：AxByC10，l2：AxByC20,误区警示 1对于直线的倾斜角和斜率要注意以下几点 (1)每一条直线都有惟一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率，倾斜角是90的直线斜率不存在所以在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解,(2)在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围时，可利用ktan在 上都是增函数分别求解k0时， k0时， k0时，0；k不存在时，,2“截距”与“距离”是两个不同的概念，x轴上的截距是直线与x轴的交点的横坐标，y轴上的截距是直线与y轴的交点的纵坐标，它们可能是正实数，也可能是负实数或零，而距离则是大于或等于零的实数 3使用直线方程时，要注意限制条件如点斜式、斜截式的使用条件是直线必须存在斜率；截距式使用条件为两截距都存在且不为零；两点式使用条件为直线不与坐标轴垂直,4判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线均无斜率的情形，在两条直线l1、l2的斜率都存在，且不重合的条件下，才有l1l2k1k2与l1l2k1k21. 用直线的一般式方程判断两直线的位置关系时，A1A2B1B20两直线垂直，但A1B2A2B10与两直线平行不等价,5应用两平行直线距离公式时，l1、l2方程中的x、y系数必须对应相同,一、数形结合的思想 解析几何是数形结合的典范，学习解析几何，必须要清楚常见表达式的几何意义，熟练掌握常见几何图形的几何性质，养成自觉运用数形结合思想解决问题的习惯 二、分类讨论思想 在直线的方程中，涉及分类讨论的常见原因有：确定直线所经过的象限；讨论直线的斜率是否存在；直线是否经过坐标原点等,三、对称思想 在许多解析几何问题中，常常涉及中心对称和轴对称的性质，许多问题，抓住了其对称性质，问题可迎刃而解 四、直线方程设法 1直线l过定点P(x0，y0)，设直线方程为yy0k(xx0)，注意xx0是否满足 2直线l与直线ykxb平行，设l：ykxb1；l与直线ykxb垂直，设l：y b1.,3直线l1：AxByC0，直线ll1时，设l：AxByC10；ll1时，设l：BxAyC10. 4直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1与l2交于点P，过点P的直线l可设为(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0.,例1 已知两点A(3,4)、B(3,2)，过点P(2，1)的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k及倾斜角的取值范围 分析：结合图形考虑，为使l与线段AB有公共点，l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的倾斜角之间，但由于l的倾斜角要“跨越”90，所以要注意，当l的倾斜角小于90时，有kkPB；当l的倾斜角大于90时，则有kkPA.,解析：如图，由题意得： 若使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k1或k3. 由于l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是arctan3，PA的倾斜角是 ， 的取值范围是arctan3 .,总结评述：本题易错解为1k3，而产生错误的主要原因是没有搞清倾斜角与斜率之间的关系，事实上，当 时tan，一般地，如果直线l所经过的区域包含与x轴垂直的直线，那么直线的斜率应分为两部分,(文)函数y asinxbcosx的一条对称轴方程为x，则直线axbyc0的倾斜角为 ( ) A45 B60 C120 D135,解析：令f(x)asinxbcosx， f(x)的一条对称轴为 即ba， 1. 直线axbyc0的斜率为1，倾斜角为135. 答案：D,(理)直线xsin 20(R)的倾斜角的取值范围为_ 分析：直线倾斜角的取值范围为0，180)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此在由斜率的范围求倾斜角的范围时，一般要分成0，90)与(90，180)或(，0)与0，)两种情况讨论 要想求出直线倾斜角的范围，必须先求出直线斜率的范围,解析：由已知，直线的斜率 R. 当0k 时，直线的倾斜角满足：0 ；当 k0时，直线的倾斜角满足： 直线的倾斜角的取值范围为,例2 ABC的三个顶点为A(3,0)，B(2,1)，C(2，3)，求： (1)BC边所在直线的方程； (2)BC边上中线AD所在直线的方程； (3)BC边的垂直平分线DE的方程,解析：(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(2,3)两点 由两点式得BC的方程： 即x2y40. (2)设BC中点D的坐标为(x，y)，则 BC边的中线AD过点A(3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线方程为 即2x3y60. (3)BC的斜率k1 ，则BC的垂直平分线DE的斜率k22，由斜截式得直线DE的方程为y2x2.,总结评述：直线方程有多种形式，一般情况下，利用任何一种形式都可求出直线方程(不满足条件的除外). 但是如果选择恰当，解答会更加迅速. 本题中的三个小题，依条件分别选择了三种不同形式的直线方程，应该掌握,一条直线被两直线l1：4xy60，l2：3x5y60截得的线段的中点恰好是坐标原点，则这条直线的方程为_,解析：解法1：由题意，所求直线过原点且斜率存在，设此直线的方程为ykx，分别与l1、l2的方程联立，求得与l1的交点坐标为 与l2的交点坐标为 从而所求的直线方程为,解法2：设所求直线与l1、l2的交点分别是A、B.设A(x0，y0)，A、B关于原点对称， B(x0，y0)，又A、B分别在l1、l2上， 得x06y00，即点A在直线x6y0上，又直线x6y0过原点 所求直线的方程为x6y0.,答案：x6y0 点评：设点而不求，这是简化计算的一种十分重要的方法,例3 过点P(2,1)作直线l分别交x、y轴正半轴于A、B两点 (1)求|PA|PB|取得最小值时直线l的方程 (2)求|OA|OB|取得最小值时直线l的方程 分析：由题意知求直线方程应选择适当的形式，本题(1)可用点斜式，也可用向量知识来做，(2)可用斜截式也可用点斜式来做,解析：(1)显然直线l的斜率存在， 设直线l的方程为：y1k(x2) (k0)， 令y0，得点A(2 ，0)； 令x0，得点B(0,12k) 当且仅当k1时取等号，所求直线l的方程为 y11(x2)即xy30.,(2)设直线l的方程为 1(a0，b0) 由题设|OA|OB|ab 当且仅当a2b即a4，b2时取等号 所求直线l的方程为 即x2y40.,总结评述：要依据求解目标的需要适当选择方程的形式,一条直线l过点P(1,4)，分别交x轴，y轴的正半轴于A、B两点，O为原点，则AOB的面积最小时直线l的方程为_,答案：4xy80,例4 已知两直线l1：mx8yn0和l2：2xmy10，试确定m、n的值，使 (1)l1与l2相交于点P(2，1)； (2)l1l2； (3)l1l2，且l1在y轴上的截距为1.,解析：(1)由条件知2m8n0，且4m10， m3，n2. (2)由mm820得，m4. 由8(1)nm0得，mn8. 即m4，n2时，或m4，n2时，l1l2； (3)当且仅当m28m0，即m0时，l1l2， 又 1，n8. 即m0，n8时，l1l2且l1在y轴上的截距为1.,总结评述：若直线l1、l2的方程分别为A1xB1yC10与A2xB2yC20，则l1l2的必要条件是A1B2A2B10；而l1l2的充要条件是A1A2B1B20.,(文)“m ”是“直线(m2)x3my10与直线(m2)x(m2)y30相互垂直”的 ( ) A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 解析：两条直线垂直满足：(m2)(m2)3m(m2)0，即2m23m20，解得m 或2，故选B. 答案：B,(理)设a、b、c分别是ABC中角A、B、C所对边的边长，则直线xsinAayc0与bxysinBsinC0的位置关系是 ( ) A平行 B重合 C垂直 D相交但不垂直 解析：由已知得a0，si