直线、平面垂直与平面，平面垂直的判定及其性质类型1线面垂直的判定要点点击对直线与平面垂直的几点说明(1)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式(2)由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线这是判断两条直线垂直的一种重要方法典例1如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PAPC，PBPD，ACBDO.求证：(1)PO平面ABCD；(2)AC平面PBD.巧归纳证明线面垂直的步骤(1)在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；(3)根据判定定理得出结论练习1如图所示，空间四边形ABCD的边BCAC，ADBD，作BECD，垂足为E，作AHBE，垂足为H.求证：AH平面BCD.类型2直线与平面所成的角要点点击对斜线和平面所成的角的定义的理解斜线和平面所成的角的定义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线所成的角典例2如图，三棱锥ASBC中，BSC 90，ASBASC60，SASBSC.求直线AS与平面SBC所成的角巧归纳求直线和平面所成角的步骤(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角练习2如图所示，已知正四面体(各棱长都相等的三棱锥)ABCD的棱长为a，E为AD的中点，连接CE.(1)求证：顶点A在底面BCD内的射影是BCD的外心；(2)求AD与底面BCD所成的角的余弦值；(3)求CE与底面BCD所成的角的正弦值类型3线面垂直的综合应用 典例3如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，ADPD，E，F分别为CD，PB的中点(1)求证：EF平面PAB；(2)设ABBC，求AC与平面AEF所成角的正弦值思路点拨(1)要证线面垂直，需证平面内有两条相交直线与已知直线垂直，而根据条件易得EFPB，EFAF，所以本题得证(2)要求线面角，得先找出或作出这个角，根据条件易得BP平面EFA，故在BEF中，只需过AC与BE的交点G作BF的平行线GH，则GH平面EFA，GAH为所求角 巧归纳利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直三角形全等、等腰三角形、梯形底边的中线、高、菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法练习3如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，ADBC，BAD90，PA底面ABCD，且PAADAB2BC，M，N分别为PC，PB的中点类型4面面垂直的判定要点点击平面与平面垂直的关键点(1)两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况例如正方体中任意相邻两个面都是互相垂直的(2)两个平面垂直和两条直线互相垂直的共同点：都是通过所成的角是直角来定义的典例4如图所示，在梯形ABCD中，ABCD，E，F是线段AB上的两点，且DEAB，CFAB，AB12，AD5，BC4，DE4.现将ADE，CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG.(1)求证：平面DEG平面CFG；(2)求多面体CDEFG的体积思路点拨(1)由EGF中的数量关系证得EGFG，再由CF平面EGFEGCF，从而EG平面CFG，进而得证(2)作出四棱锥的高，由体积公式易得又CFGFF，EG平面CFG.又EG平面DEG，平面DEG平面CFG.巧归纳常用的两个平面互相垂直的判定方法(1)定义法，即说明这两个平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理，即一个平面经过另一个平面内的一条垂线，则这两个平面互相垂直；(3)两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面对于判定定理，可简述为“线面垂直，则面面垂直”练习4如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，M是棱CC1的中点求证：平面ABM平面A1B1M.类型5二面角及其平面角的求法要点点击确定二面角的平面角的方法(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角典例5在四棱锥PABCD中，底面是边长为a的正方形，PD面ABCD，PDa.(1)求证：AC面PBD；(2)求二面角PBCD的平面角；(3)求二面角PACD的平面角的正切值巧归纳求二面角大小的步骤(1)找出这个平面角(2)证明这个角是二面角的平面角(3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小练习5如图，四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，且PAAB.求二面角BPCD的平面角的大小类型6垂直关系的综合应用 要点点击有助于判断面面垂直的结论(1)mn，m，n；(2)m，n，mn；(3)，.典例6如图，在四棱锥PABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PDa，PAPCa，求证：(1)PD平面ABCD；(2)平面PAC平面PBD；(3)二面角PBCD是45的二面角巧归纳证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直线面垂直面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的练习6如图，四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形，PB平面ABCD.(1)求证：平面PAD平面PAB；(2)若平面PDA与平面ABCD成60的二面角，求该四棱锥的体积类型7线面垂直性质定理的应用要点点击直线与平面垂直性质定理的理解(1)该定理考查的是在直线与平面垂直的条件下，可得出什么结论(2)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线都与同一个平面垂直即可)(3)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据(4)定理的推证过程采用了反证法典例7如图所示，在正方体A1B1C1D1 ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交，求证：EFBD1.思路点拨巧归纳线面垂直的性质定理的应用线面垂直的性质是证明线线平行的方法之一，还可应用线面垂直的其他性质进而证明线面平行、面面平行，实现线面垂直关系与线线平行关系的相互转化练习7如图，PA正方形ABCD所在平面，经过点A且垂直于PC的平面分别交PB，PC，PD于点E，F，G，求证：AEPB.类型8面面垂直性质定理的应用要点点击从平面与平面垂直的性质定理可以看出，由平面与平面垂直可以得到直线与平面垂直，而由平面与平面垂直的判定定理可以看出，由直线与平面垂直可以得到平面与平面垂直，其转化关系可表示为这种相互转化的关系是解决空间图形问题的重要思想方法典例8如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且ACBC，O，M分别为AB，VA的中点(1)求证：VB平面MOC；(2)求证：平面MOC平面VAB；(3)求三棱锥VABC的体积巧归纳应用面面垂直性质定理要注意的问题应用面面垂直性质定理证明相关问题时，一般需要作辅助线过其中一个平面内一点作交线的垂线，使之转化为面面垂直然后进一步转化为线线垂直练习8如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是DAB60且边长为a的菱形PAD为正三角形，其所在平面垂直于平面ABCD.若G为AD边的中点，求证：平面PBG平面PAD.类型9利用面面垂直求解二面角典例9在平面四边形ABCD中，已知ABBCCDa，ABC90，BCD135，沿AC将四边形折成直二面角BACD.(1)求证：平面ABC平面BCD；(2)求平面ABD与平面ACD所成的角的度数思路点拨(1)(2)如图，由平面ABC平面ACDBEACBE平面ACDEFADBFE为二面角的平面角解析如图所示，其中图是平面四边形，图是折后的立体图巧归纳“垂连法”求解二面角当一个平面与二面角的一个面垂直时，常利用面面垂直的性质作出二面角的面的垂线，而作出平面角二面角的平面角的作法最常用的是“垂连法”如图，求二面角CABM的平面角过点C作CD平面ABM，垂足为D；再过点D作DEAB，垂足为E；连接CE.则CED为二面角CABM的平面角以上方法称为“垂连法”，要点是“两垂一连”练习9如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为正方形，且PAAD2，E，F分别为AD，PC中点(1)求异面直线EF和PB所成角的大小；(2)求证：平面PCE平面PBC；(3)求二面角EPCD的平面角的大小类型10线线、线面、面面垂直的综合应用要点点击线面垂直的综合应用就是线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，在解答垂直关系问题时要注意已知垂直条件，特别是线面垂直与面面垂直性质的应用典例10如图所示，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，SA平面ABCD，且SA AB，点E为AB的中点，点F为SC的中点. 求证：(1)EFCD; (2)平面SCD平面SCE.巧归纳在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：练习10如图，平面PAB平面ABC，平面PAC平面ABC，AE平面PBC，E为垂足(1)求证：PA平面ABC；(2)当E为PBC的垂心时，求证：ABC是直角三角形