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14.2 代数系统,14.2.1 代数系统的定义与实例 14.2.2 代数系统的分类 14.2.3 子代数系统与积代数系统 14.2.4 代数系统的同态与同构,1,代数系统定义与实例,2,定义14.7 非空集合 S 和 S 上 k 个一元或二元运算 f1, f2, , fk 组成的系统称为一个代数系统, 简称代数,记作. 实例: ,是代数系统, +和分别表示普通加法和乘法. 是代数系统, +和 分别表示 n 阶(n2)实矩阵的加法和乘法. 是代数系统,Zn 0, 1, , n1 , 和分别表示模 n 的加法和乘法,对于x, yZn, xy=(xy)modn,xy=(xy)modn 也是代数系统, 和为并和交,为绝对补,代数系统的分类,3,定义14.8 (1) 如果两个代数系统中运算的个数相同,对应运算的元数相同,且代数常数的个数也相同,则称它们是同类型的代数系统. (2) 如果两个同类型的代数系统对应的运算所规定的运算性质也相同,则称为同种的代数系统. 例1 V1 = , V2 = , 为 n 阶全 0 矩阵,E 为 n 阶单位矩阵 V3 = ,实例三个代数系统的比较,4,V1, V2, V3是同类型的代数系统 V1, V2是同种的代数系统 V1, V2与V3不是同种的代数系统,子代数,5,定义14.9 设V= 是代数系统,B 是 S 的非空子集 ,如果 B 对 f1, f2, , fk 都是封闭的,且 B 和 S含有相同的代数常数,则称 是 V 的子代数系统,简称子代数. 有时将子代数系统简记为B. 实例 N是的子代数,N也是的子代数 N0是的子代数,但不是的子代数 说明: 子代数和原代数是同种的代数系统 对于任何代数系统V,其子代数一定存在.,关于子代数的术语,6,最大的子代数:就是V本身 最小的子代数:V中所有代数常数构成集合B,且B对V中所有运算封闭,则B就构成了V的最小的子代数 平凡的子代数:最大和最小子代数称为V的平凡子代数 真子代数:若B是S的真子集,则B构成的子代数称为V的真子代数. 例2 设V=,令 nZ = nz | zZ,n 为自然数,则 nZ 是 V 的子代数, 当 n = 1 和 0 时,nZ 是 V 的平凡的子代数,其他的都是 V 的非平凡的真子代数.,积代数,定义14.10 设 V1=和 V2=是代数系统, 其中和 是二元运算. V1与V2 的积代数V=, , S1S2 , =,7,例3 V1=, V2=, 积代数 , ZM2(R) , = ,积代数的性质,设 V1=和 V2=是代数系统,其中和 是二元 运算. V1 与 V2 的积代数是 V= (1) 若 和 运算是可交换的,那么 运算也是可交换的 (2) 若 和 运算是可结合的,那么 运算也是可结合的 (3) 若 和 运算是幂等的,那么 运算也是幂等的 (4) 若 和 运算分别具有单位元 e1 和 e2,那么 运算 也具有单位元 (5) 若 和 运算分别具有零元 1 和 2,那么 运算 也具有零元 (6) 若 x 关于 的逆元为 x1, y 关于 的逆元为 y1,那么 关于 运算也具有逆元,8,代数系统的同态与同构,同态映射的定义 同态映射的分类 单同态、满同态、同构 自同态 同态映射的实例 满同态映射的性质,9,同态映射的定义,10,定义14.11 设 V1=和 V2=是代数系统,其中 和 是二元运算. f : S1S2, 且x,yS1 f (x y) = f(x) f( y) 则称 f 为V1到 V2 的同态映射,简称同态.,同态映射的定义(续),11,例1 V=, 判断下面的哪些函数是V 的同态? (1) f(x)=|x| (2) f(x)=2x (3) f(x)=x2 (4) f(x)=1/x (5) f(x)= x (6) f(x)=x+1,解 (1) 是同态, f(xy) = |xy| = |x| |y| = f(x) f(y),(4) 是同态, f(xy) = 1/(xy) =1/x 1/y = f(x) f(y),(3) 是同态, f(xy) = (xy)2 = x2 y2 = f(x) f(y),(2) 不是同态,f(22)=f(4)=8, f(2) f(2)=4 4=16,(5) 不是同态,f(11)=f(1)= 1, f(1) f(1)=(1)(1)=1,(6) 不是同态,f(11)=f(1)=2, f(1) f(1)=22=4,特殊同态映射的分类,12,同态映射如果是单射,则称为单同态; 如果是满射,则称为满同态,这时称V2是V1的同态像,记作 V1V2; 如果是双射,则称为同构,也称代数系统V1同构于V2,记作 V1V2. 对于代数系统 V,它到自身的同态称为自同态. 类似地可以定义单自同态、满自同态和自同构.,同态映射的实例,13,例2 (1) 设V=,aZ,令 fa : ZZ,fa(x)=ax 那么 fa是V的自同态. 因为x,yZ,有 fa(x+y) = a(x+y) = ax+ay = fa(x)+fa(y) 当 a = 0 时称 f0为零同态;当a=1时,称 fa为自同构;除此之外其他的 fa 都是单自同态. (2) 设V1=, V2=,其中Q*=Q0,令 f : QQ*, f(x)=ex 那么 f 是V1到V2的同态映射,因为x,yQ有 f(x+y)=ex+y=exey=f(x) f(y). 不难看出 f 是单同态.,同态映射的实例(续),(3) V=, fp:ZnZn, fp(x) = (xp) mod n,p = 0, 1, , n1. x, yZn, fp(xy)=(xy)p) mod n = (xp) mod n (yp) mod n = fp(x) fp(y) 例如,n=6. f0(x)=0, f1(x)=x, f2(0) = f2(3) = 0, f2(1) = f2(4) = 2, f2(2) = f2(5) = 4 f3(0) = f3(2) = f3(4) = 0, f3(1) = f3(3) = f3(5) = 3 f4(0) = f4(3) = 0, f4(1) = f4(4) = 4, f4(2) = f4(5) = 2 f5(0) = 0, f5(1) = 5, f5(2) = 4, f5(3) = 3, f5(4) = 2, f5(5) = 1,14,同态映射的实例(续),(4) V1=, V2=, f : ZZn, f (x) = (x) mod n x, yZ, f(x+y) = (x+y) mod n = (x) mod n (y) mod n = f(x) f(y) 例如,n=3. f(3x)=0, f(3x+1)=1, f(3x+2) = 2 f为满同态.,15,满同态映射的性质,设 V1和 V2是代数系统,f : V1 V2 是满同态映射, 则 若V1中的运算是可交换 (可结合, 幂等) 的,那么V2中 对应的 运算也是可交换 (可结合、幂等的) 的. (2)若V1中的对运算是可分配的,那么V2中对应的 对 运算也是可分配的. (3)若V1中的和运算是可吸收的,那么V2中对应的 和 运算也是可吸收的. (4)若V1中运算具有单位元 e1 (或零元1),那么 f(e1) (或 f(1)是V2中关于对应的运算的单位元 (或零元). (5) 若 x 关于V1中 运算的逆元为 x1, 那么 f(x)在V2中关于对应的 运算的逆元为 f(x1).,16,
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