3.1.1空间向量及其加减运算,一、平面向量复习,定义：,既有大小又有方向的量叫向量,几何表示法：,用有向线段表示；,字母表示法：,用字母a、b等或者用有向线段 的起点与终点字母 表示,相等的向量：,长度相等且方向相同的向量,平面向量的加减法运算,向量的加法：,a,b,a+b,平行四边形法则,a,a+b,三角形法则(首尾相连),向量的减法,a,b,a-b,三角形法则,减向量终点指向被减向量终点,平面向量的加法运算律,加法交换律：,abba,加法结合律：,(ab)ca(bc),推广,首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即：,首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量即：,二、空间向量及其加减运算,空间向量：,空间中具有大小和方向的量叫做向量,定义：,表示方法：,空间向量的表示方法和平面向量一样；,空间任意两个向量都可以用同一平面 内的两条有向线段表示,同向且等长的有向线段表示同一向量或 相等的向量；,2.空间向量的加法、减法向量,a + b,a - b,空间向量加法运算律,加法交换律：,a + b = b + a；,加法结合律：,(a + b) + c =a + (b + c)；,a,b,c,a + b + c,a,b,c,a + b + c,a + b,b + c,对空间向量的加法、减法的说明,空间向量的运算就是平面向量运算的推广,两个向量相加的平行四边形法则在空间仍 然成立,空间向量的加法运算可以推广至若干个向 量相加,推广,首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即：,首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量即：,例1、给出以下命题： （1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同； （2）若空间向量 满足 ，则 ； （3）在正方体 中，必有 ； （4）若空间向量 满足 ，则 ； （5）空间中任意两个单位向量必相等。 其中不正确命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4,C,变式：如图所示，长方体中，AD=2，AA1=1，AB=3。 （1）是写出与 相等的所有向量； （2）写出与向量 的相反向量。,平行六面体：平行四边形ABCD平移向量a到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体。,记作ABCDA1B1C1D1，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。,例2,解：,始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量,例3、在如图所示的平行六面体中， 求证：,变式： 已知平行六面体 则下列四式中： 其中正确的是 。,(1)(2)(3),例4、如图所示，在正方体 中，下列各式中运算的结果为向量 的共有（ ）,A.1 B.2 C.3 D.4,变式：,D,平面向量,概念,加法 减法,运 算 律,定义,表示法,相等向量,减法:三角形法则,加法:三角形法则或 平行四边形法则,空间向量,具有大小和方向的量,加法交换律,加法结合律,小结,类比、数形结合,