第3讲：LINGO基本语法和编程,王 丹 理学院数学与系统科学系 2016年夏季,LINGO程序的基本结构 LINGO中的集合 LINGO中的简化函数 LINGO中的运算符,LINGO程序基本结构,1：模型以Model以END结束,Model： Title “Example” END,注：在程序中若没有Model和End也能执行，但建议写完整标准的程序,LINGO程序基本结构,2：五段（Section）结构,Model： Title “Example” 集合段 数据段 初始段 计算段 目标和约束段 END,五段结构中目标和约束段一般是不可少的，集合段用得比较多，数据段次之，初始段和计算段不一定有。这些段的顺序可调换。,LINGO模型的基本结构,（1）集合段（SETS）：以“ SETS:” 开始， “ENDSETS”结束，定义必要的集合变量（SET）及其元素（MEMBER，含义类似于数组的下标）和属性（ATTRIBUTE，含义类似于数组）。,Sets: Car/1 2/: lcar; Box/17/: hd,zl,js; SL(Car,Box): x; TRI(Car,SL): trx; ENDSETS,（2）数据段(DATA)：以 “DATA:” 开始, “ENDDATA”结束，对集合的属性(数组)输入必要的常数数据。 格式为：“attribute(属性) = value_list(常数列表);” 常数列表(value_list)中数据之间可以用逗号“,”分开，也可以用空格分开(回车等价于一个空格),如：,Data: hd = 48.7 52 61.3 72 48.7 52 64; zl = 2000 3000 1000 500 4000 2000 1000; js = 8 7 9 6 6 4 8; ENDDATA,（3）初始段(INIT)：以“INIT: ”开始， “ENDINIT”结束，对集合的属性(数组)定义初值(因为求解算法一般是迭代算法，所以用户如果能给出一个比较好的迭代初值，对提高算法的计算效果是有益的)。 如果有一个接近最优解的初值，对LINGO求解模型是有帮助的。定义初值的格式为： “attribute（属性） = value_list（常数列表）；” 这与数据段中的用法是类似的。,Init: x = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1; Endinit,（4）计算段(CALC)：以“CALC: ”开始， “ENDCALC”结束，对一些原始数据进行计算处理。 在实际问题中，输入的数据通常是原始数据，不一定能在模型中直接使用，可以在这个段对这些原始数据进行一定的“预处理”，得到模型中真正需要的数据。,例如,Calc: TotalWeight = sum(Box(i): zl(i)*js(i); EndCalc,注意计算段只能对常量进行计算，不能对需要通过解优化程序求解出来的变量进行计算。,（5）目标与约束段：目标函数、约束条件等，没有段的开始和结束标记，因此实际上就是除其它四个段(都有明确的段标记)外的LINGO模型。这是Lingo程序最重要的部分。,MAX = sum(Car(i):sum(Box(j):hd(j)/100*x(i,j); for(Box(j):x(1,j)+x(2,j)=0); for(SL(i,j):GIN(x(i,j);,一个简单的LINGO程序,例 直接用LINGO来解如下二次规划问题：,输入窗口如下：,输出结果：,运行菜单命令“LINGO|Solve”,最优整数解 X=(35.37,64.63),最大利润=11077.87,输出结果备注：,通过菜单 “WINDOW| Status Window”看到状态窗口，可看到最佳目标值“Best Obj”与问题的上界“Obj Bound”已经是一样的，当前解的最大利润与这两个值非常接近，是计算误差引起的。,LINGO是将它作为NLP(非线性规划)来求解，找到的是全局最优解。,一个复杂一些的LINGO程序,例 直接用LINGO来解如下线性规划问题：,程序如下：,输出结果,LINGO是将它作为ILP(整数线性规划)来求解，找到全局最优解。,LINGO程序注意的几个问题,LINGO的基本用法的几点注意事项,LINGO中不区分大小写字母；变量和行名可以超过8个字符，但不能超过32个字符，且必须以字母开头。 用LINGO解优化模型时已假定所有变量非负(除非用限定变量取值范围的函数free或sub或slb另行说明)。 变量可以放在约束条件的右端(同时数字也可放在约束条件的左端)。但为了提高LINGO求解时的效率，应尽可能采用线性表达式定义目标和约束(如果可能的话)。 语句是组成LINGO模型的基本单位,每个语句都以分号结尾，编写程序时应注意模型的可读性。例如：一行只写一个语句，按照语句之间的嵌套关系对语句安排适当的缩进，增强层次感。 以感叹号开始的是说明语句(说明语句也需要以分号结束)）。,集合的基本用法,理解LINGO建模语言最重要的是理解集合（Set）及其属性（Attribute）的概念。,例 SAILCO公司需要决定下四个季度的帆船生产量。下四个季度的帆船需求量分别是40条，60条，75条，25条，这些需求必须按时满足。每个季度正常的生产能力是40条帆船，每条船的生产费用为400美元。如果加班生产，每条船的生产费用为450美元。每个季度末，每条船的库存费用为20美元。假定生产提前期为0，初始库存为10条船。如何安排生产可使总费用最小？,用DEM,RP,OP,INV分别表示需求量、正常生产的产量、加班生产的产量、库存量，则DEM,RP,OP,INV对每个季度都应该有一个对应的值，也就说他们都应该是一个由4个元素组成的数组，其中DEM是已知的，而RP,OP,INV是未知数。,问题的模型(可以看出是LP模型 ),目标函数是所有费用的和,约束条件主要有三个：,1）能力限制：,2）产品数量的平衡方程：,3）变量的非负约束,由于LINGO中没有数组，只能对每个季度分别定义变量，如正常产量就要有RP1，RP2，RP3，RP4 4个变量等。写起来就比较麻烦，尤其是更多(如1000个季度)的时候。 记四个季度组成的集合QUARTERS=1，2，3，4，它们就是上面数组的下标集合，而数组DEM,RP,OP, INV对集合QUARTERS中的每个元素1，2，3，4分别对应于一个值。LINGO正是充分利用了这种数组及其下标的关系，引入了“集合”及其“属性”的概念，把QUARTERS=1，2，3，4称为集合，把DEM,RP,OP, INV称为该集合的属性(即定义在该集合上的属性)。,集合及其属性,集合元素及集合的属性确定的所有变量,LINGO中定义集合及其属性,LP模型在LINGO中的一个典型输入方式,以“MODEL：”开始,以“END”结束,给出优化目标和约束,基本集合与派生集合,例 建筑工地的位置(用平面坐标a, b表示，距离单位：公里)及水泥日用量d(吨)下表给出。有两个临时料场位于P (5,1), Q (2, 7),日储量各有20吨。从A, B两料场分别向各工地运送多少吨水泥，使总的吨公里数最小。两个新的料场应建在何处，节省的吨公里数有多大？,建立模型,记工地的位置为 ，水泥日用量为 ；料场位置为 ，日储量为 ；从料场 向工地 的运送量为 。,使用现有临时料场时，决策变量只有 （非负），所以这是LP模型；当为新建料场选址时决策变量为 和 ，由于目标函数 对 是非线性的，所以在新建料场时是NLP模型。先解NLP模型，而把现有临时料场的位置作为初始解告诉LINGO。,本例中集合的概念,利用集合的概念，可以定义需求点DEMAND和供应点SUPPLY两个集合，分别有6个和2个元素(下标)。但决策变量(运送量) 与集合DEMAND和集合SUPPLY都有关系的。该如何定义这样的属性？,集合的属性相当于以集合的元素为下标的数组。这里的 相当于二维数组。它的两个下标分别来自集合DEMAND和SUPPLY，因此可以定义一个由二元对组成的新的集合，然后将 定义成这个新集合的属性。,输入程序,定义了三个集合，其中LINK在前两个集合DEMAND 和SUPPLY的基础上定义,表示集合LINK中的元素就是集合DEMAND 和SUPPLY的元素组合成的有序二元组， 从数学上看LINK是DEMAND 和SUPPLY的笛卡儿积，也就是说 LINK=（S，T）|SDEMAND，TSUPPLY 因此，其属性C也就是一个6*2的矩阵（或者说是含有12个元素的二维数组）。,LINGO建模语言也称为矩阵生成器（MATRIX GENERATOR）。类似DEMAND 和SUPPLY直接把元素列举出来的集合，称为基本集合(primary set),而把LINK这种基于其它集合而派生出来的二维或多维集合称为派生集合(derived set)。由于是DEMAND 和SUPPLY生成了派生集合LINK，所以DEMAND 和SUPPLY 称为LINK的父集合。,输入程序,初始段,INGO对数据是按列赋值的 语句的实际赋值顺序是X=(5,2), Y=(1,7), 而不是X=(5,1), Y=（2,7) 等价写法： “X=5,2； Y=1,7；”,同理，数据段中对常数数组A，B的赋值语句也可以写成 A, B=1.25 1.25 8.75 0.75 0.5 4.75 5.75 5 3 6.5 7.25 7.75；,输入程序,解答:运行菜单命令“LINGO|Solve”,局部最优解X(1)=7.249997， X(2)=5.695940，Y(1)=7.749998， Y(2)=4.928524，C（略）， 最小运量=89.8835(吨公里)。,问题:最小运量89.8835是不是全局最优,是用“LINGO|Options”菜单命令打开选项对话框，在“Global Solver”选项卡上选择“Use Global Solver”, 激活全局最优求解程序。,问题:最小运量89.8835是不是全局最优,此时目标函数值的下界（Obj Bound=85.2638）与目前得到的最好的可行解的目标函数值（Best Obj=85.2661）相差已经非常小，可以认为已经得到了全局最优解。,计算结果,工地与料场示意图 : “*”表示料场，“+”表示工地,可以认为是模型的最后结果,附注：如果要把料厂P(5, 1), Q (2, 7)的位置看成是已知并且固定的，这时是LP模型。只需要把初始段的“X Y =5，1，2，7；”语句移到数据段就可以了。此时，运行结果告诉我们得到全局最优解（变量C的取值这里略去），最小运量136.2275(吨公里)。,稠密集合与稀疏集合,包含了两个基本集合构成的所有二元有序对的派生集合称为稠密集合(简称稠集)。有时候，在实际问题中，一些属性(数组) 只在笛卡儿积的一个真子集合上定义，这种派生集合称为稀疏集合(简称疏集)。,例 (最短路问题) 在纵横交错的公路网中，货车司机希望找到一条从一个城市到另一个城市的最短路. 下图表示的是公路网, 节点表示货车可以停靠的城市,弧上的权表示两个城市之间的距离(百公里). 那么,货车从城市S出发到达城市T,如何选择行驶路线,使所经过的路程最短?,分析,假设从S到T的最优行驶路线 P 经过城市C1, 则P中从S到C1的子路也一定是从S到C1的最优行驶路线; 假设 P 经过城市C2, 则P中从S到C2的子路也一定是从S到C2的最优行驶路线. 因此, 为得到从S到T的最优行驶路线, 只需要先求出从S到Ck(k=1,2)的最优行驶路线, 就可以方便地得到从S到T的最优行驶路线. 同样,为了求出从S到Ck(k=1,2)的最优行驶路线, 只需要先求出从S到Bj(j=1,2)的最优行驶路线; 为了求出从S到Bj