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不等式选讲知识点复习一、不等式的基本性质(对称性) (传递性)(可加性)(同向可加性) (异向可减性)(可积性) (同向正数可乘性) (异向正数可除性)(平方法则) (开方法则)(倒数法则)二、几个重要不等式,(当且仅当时取号). 变形公式:(基本不等式) ,(当且仅当时取到等号).变形公式: 用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.(三个正数的算术几何平均不等式)(当且仅当时取到等号).(当且仅当时取到等号).(当且仅当时取到等号).(当仅当a=b时取等号) (当仅当a=b时取等号) 其中规律:小于1同加则变大,大于1同加则变小. 绝对值三角不等式三、几个著名不等式平均不等式:,(当且仅当时取号).(即调和平均 几何平均 算术平均 平方平均). 变形公式: 幂平均不等式:二维形式的三角不等式:二维形式的柯西不等式: 当且仅当时,等号成立.三维形式的柯西不等式:一般形式的柯西不等式:向量形式的柯西不等式:设是两个向量,则当且仅当是零向量,或存在实数,使时,等号成立.排序不等式(排序原理):设为两组实数.是的任一排列,则(反序和乱序和顺序和)当且仅当或时,反序和等于顺序和.四绝对值三角不等式定理1:如果a,b是实数,则|a+b|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号成立。注:(1)绝对值三角不等式的向量形式及几何意义:当,不共线时,|+|+|,它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。(2)不等式|a|-|b|ab|a|+|b|中“=”成立的条件分别是:不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|,在侧“=”成立的条件是ab0,左侧“=”成立的条件是ab0且|a|b|;不等式|a|-|b|a-b|a|+|b|,右侧“=”成立的条件是ab0,左侧“=”成立的条件是ab0且|a|b|。定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)时,等号成立。五绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集不等式a0a=0a0|x|ax|-axa|x|ax|xa 或x-a x|xR且x0R注:|x|以及|x-a|x-b|表示的几何意义(|x|表示数轴上的点x到原点的距离;| x-a |x-b|)表示数轴上的点x到点a,b的距离之和(差)(2)|ax+b|c(c0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法|ax+b|c-cax+bc;| ax+b|c ax+bc或ax+b-c.(3)|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法方法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;方法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;方法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想。六、不等式证明的几种常用方法 常用方法有:比较法(作差,作商法)、综合法、分析法;1比较法(1)作差比较法理论依据:aba-b0;ab a-b0.证明步骤:作差变形判断符号得出结论。注:作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系。(2)作商比较法理论依据: 证明步骤:作商变形判断与1的大小关系得出结论。2综合法(1)定义:从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得到命题成立,这种证明方法叫做综合法。综合法又叫做推证法或由因导果法。(2)思路:综合法的思索路线是“由因导果”,也就是从一个(组)已知的不等式出发,不断地用必要条件代替前面的不等式,直至推导出要求证明的不等式。3分析法(1)定义:从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法。(2)思路:分析法的思索路线是“执果索因”,即从要证的不等式出发,不断地用充分条件来代替前面的不等式,直到打到已知不等式为止。注:综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程,其表述简单、条理清楚。当问题比较复杂时,通常把分析法和综合法结合起来使用,以分析法寻找证明的思路,用综合法叙述、表达整个证明过程。4放缩法(1)定义:证明不等式时,通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目的,这种证明方法称为放缩法。(2)思路:分析证明式的形式特点,适当放大或缩小是证题关键。其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等.常见不等式的放缩方法:舍去或加上一些项,如将分子或分母放大(缩小),如 等.习题:1.不等式的解集为(A)-5.7 (B)-4,6 (C) (D) 【答案】D2.已知集合,则集合=_.3.不等式的解集是_.4若关于x的不等式存在实数解,则实数的取值范围是 解答题:1已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.(I)证明:-3f(x)3;(II)求不等式f(x)x2-8x+15的解集.2.设函数(1)当时,求不等式的解集;(2)如果不等式的解集为,求的值。3.解不等式:4设不等式的解集为M(I)求集合M;(II)若a,bM,试比较ab+1与a+b的大小2010年试题:一、填空题:1不等式的解集为 . 二、解答题:1已知函数。()若不等式的解集为,求实数的值;()在()的条件下,若对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围。2设a、b是非负实数,求证:。4已知均为正数,证明:,并确定为何值时,等号成立。2009年试题:1.解不等式2x-1x+1 2.设函数。(1) 若解不等式;(2)如果,求 的取值范围。 3如图,O为数轴的原点,A,B,M为数轴上三点,C为线段OM上的动点,设x表示C与原点的距离,y 表示C到A距离4倍与C道B距离的6倍的和.(1)将y表示成x的函数;(2)要使y的值不超过70,x 应该在什么范围内取值? 7
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