用最小二乘法进行多项式拟合（matlab实现）西安交通大学 徐彬华算法分析：对给定数据 (i=0 ,1,2,3,.,m),一共m+1个数据点，取多项式P(x),使函数P(x)称为拟合函数或最小二乘解，令似的 使得 其中，a0，a1,a2,an为待求未知数，n为多项式的最高次幂，由此，该问题化为求的极值问题。由多元函数求极值的必要条件： j=0,1,n得到： j=0,1,n这是一个关于a0，a1,a2,an的线性方程组，用矩阵表示如下：因此，只要给出数据点 及其个数m，再给出所要拟合的参数n，则即可求出未知数矩阵（a0，a1,a2,an）试验题1编制以函数 为基的多项式最小二乘拟合程序，并用于对下列数据作三次多项式最小二乘拟合(取权函数wi1)xi-1.0 -0.50.00.51.01.52.0yi-4.447-0.4520.5510.048-0.4470.5494.552总共有7个数据点，令m=6第一步：画出已知数据的的散点图，确定拟合参数n;x=-1.0:0.5:2.0;y=-4.447,-0.452,0.551,0.048,-0.447,0.549,4.552;plot(x,y,*)xlabel x轴ylabel y轴title 散点图hold on因此将拟合参数n设为3.第二步：计算矩阵A= 注意到该矩阵为（n+1）*(n+1)矩阵，多项式的幂跟行、列坐标（i,j）的关系为i+j-2,由此可建立循环来求矩阵的各个元素，程序如下：m=6;n=3;A=zeros(n+1);for j=1:n+1 for i=1:n+1 for k=1:m+1 A(j,i)=A(j,i)+x(k)(j+i-2) end endend;再来求矩阵B=B=0 0 0 0;for j=1:n+1 for i=1:m+1 B(j)=B(j)+y(i)*x(i)(j-1) endend第三步：写出正规方程，求出a0,a1,an.B=B;a=inv(A)*B;第四步：画出拟合曲线x=-1.0:0.0001:2.0;z=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.2+a(4)*x.3;plot(x,z) legend(离散点,y=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.2+a(4)*x.3)title(拟合图)总程序附下：x=-1.0:0.5:2.0;y=-4.447,-0.452,0.551,0.048,-0.447,0.549,4.552;plot(x,y,*)xlabel x轴ylabel y轴title 散点图hold onm=6;n=3;A=zeros(n+1);for j=1:n+1 for i=1:n+1 for k=1:m+1 A(j,i)=A(j,i)+x(k)(j+i-2) end endend;B=0 0 0 0;for j=1:n+1 for i=1:m+1 B(j)=B(j)+y(i)*x(i)(j-1) endendB=B;a=inv(A)*B;x=-1.0:0.0001:2.0;z=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.2+a(4)*x.3;plot(x,z) legend(离散点,y=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.2+a(4)*x.3)title(拟合图)