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预备知识 在概率的计算中经常要用到一些排列组合知识,也常常用到牛顿二项式定理。这里罗列一些同学们在中学里已学过的有关公式,并适当作一点推广。一. 两个原理1. 乘法原理: 完成一项工作有m个步骤,第一步有种方法,第二步有种方法,第m步有种方法,且完成该项工作必须依次通过这m个步骤,则完成该项工作一共有 种方法,这一原理称为乘法原理。 2. 加法原理: 完成一项工作有m种方式,第一种方式有种方法,第二种方式有种方法,第m种方式有种方法,且完成该项工作只需选择这m种方式中的一种,则完成这项工作一共有 +种方法,这一原理称为加法原理。 二. 排列: 从n个元素里每次取出r个元素,按一定顺序排成一列,称为从n个元素里每次取r个元素的排列,这里n和Z。均为正整数(以下同)。 当这n个元素全不相同时,上述的排列称为无重复排列,我们关心的是可以做成多少个排列,即排列数。 对于无重复排列,要求当 时 称为选排列,而当rn时称为全排列。我们记排列数分别为即将全排列看成选排列的特例。利用乘法原理不难得到 由阶乘的定义由阶乘的定义 将上面的n个不同的元素改为n类不同的元素,每一类元素都有无数多个。今从这n类元素中取出r个元素,这r个元素可以有从同一类元素中的两个或两个以上,将取出的这r个元素dl成一列,称为从n类元素中取出r个元素的可重复排列,排列数记作,由乘法原理得 显然,此处r可以大于n 例3 将三封信投入4个信箱,问在下列两种情形下各有几种投法? 1)每个信箱至多只许投入一封信;2)每个信箱允许投入的信的数量不受限制。解 1)显然是无重复排列问题,投法的种数为2)是可重复排列问题,投法的种数为 三、组合 从“个元素中每次取出r个元素,构成的一组,称为从n个元素里每次取出r个元素的组合。设这n个元素全不相同,即得所谓无重复组合,我们来求组合数,记作将一个组合中的r个元素作全排列,全排列数为,所有组合中的元素作全排列,共有 个排列,这相当于从n个元素里每次取r个元素的选排列,排列总数为 故有 性质(2)的左端表示从中取出r个的组合数。我们可以固定这n十1个元素中的任意一个,不妨固定于是考察所有取及所有不取。的组合数,前者即从个中取r1个的组合数,而后者即从个中取r个的组合数 类似于可重复排列,也有可重复组合,即从n类不同元素中每次取出r个元素,这r个元素可以从同一类元素中取两个或两 例4 掷两颗银子可以有多少种点子的排列?多少种点子的组合? 解 每颗银子各有六面,分别刻有1,2,3,4,5,6个点,掷出的结果可以重复。 四、较复杂的排列、组合问题问题1,不全相异元素的全排列将一个包含n个元素的整体分成r个有序的部分,其中第一部分包含个元素,第二部分包含个元素,第r部分包含个元素,分法数共有种,上式称为多项式系数。 例5 将15名新生平均分配到三个班级中去,这15名新生中有3名优秀生。问:1)15名新生平均分配到三个班级中有多少种分法?2)每个班级各分配到一名优秀生有多少种分法?3)3名优秀生分配在同一个班级有多少种分法?解 1)15名新生平均分配到三个班级中的分法总数为 2)将3名优秀生分配到三个班级使每个班级都有一名优秀生的分法共3!种。对于其中每一种分法,其余12名新生平均到三个班级中的分法共有种,由乘法原理不难得到每个班级各分配到一名优秀牛的分法总数为 3)将3名优秀生分配在同一班级内的分法共有3种(因有3个班级)。对于这每一种分法,其余12名新生的分法是将其中的2名分配到已有3名优秀生的班级,而另二个班级各5名,因此分法数为种,由乘法原理得3名优秀生分配在同一班级的分法总数为 例 :将3个白球、4个红球和4个黑球排成一行如果颜色相同的球彼此不加区别,问有多少种排法?解:有 种排法问题2,不全相异元素的组合 仍设有r种不同元素,第一种有个元素,第二种有个元素,第r种有个元素,今从这n个元素中,每次取,其取法总数为下列乘积 例6 由词中的字母,每次择取4个,共有几种不同的选择法? 解 此词中有8种字母,其中包括3个a,2个m,2个,以及 各一个,每次择取4个,故所求的取法数由 例: 要求某学生会主席指定一个委员会,包括5名男生和3名女生,在提供的候选人名单中有10名男生和7名女生。问可能有多少个委员会可供他选择? 解 在某一委员会中,如果改变委员的顺序,结果仍相同,因此,这是一个求组合的问题。从lo名男生中,主席能选出每组有5名男生的组合数为55 组合与排列个元素的整体分成r个有序的部分,其中第一部分包含Rt个元素,第二部分包含n2个元素,第r部分包含n r个元素,分法数共有 组合与排列研究事物的分组与排列,在计算概串方面,它们可以用来决定一切可能情况的总数以及有利情况数。 定义58 每一个集合可以由给定事物的部分或全体组成,可以不管集合中事物的顺序则这一集合称作组合。 定义59 事物的全部集合或部分集合的每一种不同的顺序或排列即称为排列。 例514 在A,B,C,D四个字母中求每组三个字母的(a)组合数,(b)排列数。 解 (a)字母A,B,C,D每组可以取三个,不计顺序,有以下取法:ABC,ABD,ACD和BCD。因此,共有4种组合,即4个物件中每次取三个共有4种组合。 (b)如果还考虑顺序,在字母A,B,C,D中每组有三个,共有以下排列:ABC,ACB,BAC, BCA,CAB,CBA,ABD,ADB,BAD,BDA,DAB,DBA,ACD,ADC,CAD,CDA,DAC,DCA,BCD, BDC, CBD,CDB,DBC,DCB。因此,共有24种排列:即从4物件中每次取三个共有24种排列。 例515排列数。 解求四物件在每次取4件时的(a)组合数; (b)A,B,C,D四个字母的顺序数容易求出为24,于是4物件每次取4件有24种排列。 为了求出计算组合数与排列数的简易公式,我们首先考虑一个特例,求n个物件(例如字母)每组有n项的排列数。 把这些排列都写出来,我们就可以看到第一个字母有n种选择;每一种选择对应于图53中的一个分校图,这里表示的是n4的情形。在选定第一个字母后(例如A),在第二个字母就余下(n1)种选择,于是对前面两个字母就有n(n1)种可能的选择,与固53中从左边顶端发散的分技数一样多的选择。在前两个字母选定以后,对第三个字母还有n2种选择,于是对前三个字母就有n(n1)(n2)种选择。继续这一过程,我们看到对第n个字母就只留有一种选择;因而n个字母有n(n1)(n2)。21种排列法。 用符号nI(读作“n的阶乘”)表示前面n个正整数的乘积,即 n!n(n1)(n2)21 (59)用Pn,n表示n个物件每组有n个的排列数,我们已经表明Pa,nn1 (510)2019整理的各行业企管,经济,房产,策划,方案等工作范文,希望你用得上,不足之处请指正
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