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2009年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(理工农医类)一- 选择题(每小题5分,共60分)(1)已知集合M=x|-3x5,N=x|-5x5,则MN=(A) x|-5x5 (B) x|-3x5(C) x|-5x5 (D) x|-30,V=S-T (B) A0, V=S+T(D)A0, V=S+T(11)正六棱锥P-ABCDEF中,G为PB的中点,则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为(A)1:1 (B) 1:2 (C) 2:1 (D) 3:2(12)若满足2x+=5, 满足2x+2(x-1)=5, +=(A) (B)3 (C) (D)4(13)某企业有3个分厂生产同一种电子产品,第一、二、三分厂的产量之比为1:2:1,用分层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命的测试,由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h,1020h,1032h,则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为 h.(14)等差数列的前项和为,且则 (15)设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)。 则该几何体的体积为 (16)以知F是双曲线的左焦点,是双曲线右支上的动点,则的最小值为 。(17)(本小题满分12分)如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为,于水面C处测得B点和D点的仰角均为,AC=0.1km。试探究图中B,D间距离与另外哪两点间距离相等,然后求B,D的距离(计算结果精确到0.01km,1.414,2.449)(18)(本小题满分12分)如图,已知两个正方行ABCD 和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点 。(I)若平面ABCD 平面DCEF,求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦;(II)用反证法证明:直线ME 与 BN 是两条异面直线。(19)(本小题满分12分)某人向一目射击4次,每次击中目标的概率为。该目标分为3个不同的部分,第一、二、三部分面积之比为1:3:6。击中目标时,击中任何一部分的概率与其面积成正比。()设X表示目标被击中的次数,求X的分布列;()若目标被击中2次,A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”,求P(A)(20)(本小题满分12分)已知,椭圆C过点A,两个焦点为(-1,0),(1,0)。(1) 求椭圆C的方程;(2) E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值。(21)(本小题满分12分)已知函数f(x)=x-ax+(a-1),。(1)讨论函数的单调性;(2)证明:若,则对任意x,x,xx,有。请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明讲已知 ABC 中,AB=AC, D是 ABC外接圆劣弧上的点(不与点A,C重合),延长BD至E。(1) 求证:AD的延长线平分CDE;(2) 若BAC=30,ABC中BC边上的高为2+,求ABC外接圆的面积。(23)(本小题满分10分)选修4-4 :坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,以O为极点,x正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为cos()=1,M,N分别为C与x轴,y轴的交点。(1)写出C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标;(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程。(24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数。(1) 若解不等式;(2)如果,求 的取值范围。参考答案(1) B (2) D (3) B (4)B (5)A (6)B (7)D (8) C (9) A(10) C (11)C (12)C (13)1013 (14) (15) 4 (16)9(17)解:在ABC中,DAC=30, ADC=60DAC=30,所以CD=AC=0.1 又BCD=1806060=60,故CB是CAD底边AD的中垂线,所以BD=BA, 5分在ABC中,即AB=因此,BD=故B,D的距离约为0.33km。 12分(18)(I)解法一:取CD的中点G,连接MG,NG。设正方形ABCD,DCEF的边长为2, 则MGCD,MG=2,NG=.因为平面ABCD平面DCED,所以MG平面DCEF,可得MNG是MN与平面DCEF所成的角。因为MN=,所以sinMNG=为MN与平面DCEF所成角的正弦值 6分解法二: 设正方形ABCD,DCEF的边长为2,以D为坐标原点,分别以射线DC,DF,DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.则M(1,0,2),N(0,1,0),可得=(-1,1,2). 又=(0,0,2)为平面DCEF的法向量,可得cos(,)= 所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为cos 6分()假设直线ME与BN共面, 8分则AB平面MBEN,且平面MBEN与平面DCEF交于EN由已知,两正方形不共面,故AB平面DCEF。又AB/CD,所以AB/平面DCEF。面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线,所以AB/EN。又AB/CD/EF,所以EN/EF,这与ENEF=E矛盾,故假设不成立。所以ME与BN不共面,它们是异面直线. 12分(19)解:()依题意X的分列为 6分()设A1表示事件“第一次击中目标时,击中第i部分”,i=1,2. B1表示事件“第二次击中目标时,击中第i部分”,i=1,2.依题意知P(A1)=P(B1)=0.1,P(A2)=P(B2)=0.3,,所求的概率为 (20)解:()由题意,c=1,可设椭圆方程为,解得,(舍去)所以椭圆方程为。 4分()设直线AE方程为:,代入得 设,因为点在椭圆上,所以 8分又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以K代K,可得所以直线EF的斜率即直线EF的斜率为定值,其值为。 12分(21)解:(1)的定义域为。2分(i)若即,则故在单调增加。(ii)若,而,故,则当时,;当及时,故在单调减少,在单调增加。(iii)若,即,同理可得在单调减少,在单调增加.(II)考虑函数 则由于1a5,故,即g(x)在(4, +)单调增加,从而当时有,即,故,当时,有12分(22)解:()如图,设F为AD延长线上一点A,B,C,D四点共圆,CDF=ABC又AB=AC ABC=ACB,且ADB=ACB, ADB=CDF,对顶角EDF=ADB, 故EDF=CDF,即AD的延长线平分CDE.()设O为外接圆圆心,连接AO交BC于H,则AHBC.连接OC,A由题意OAC=OCA=150, ACB=750,OCH=600.设圆半径为r,则r+r=2+,a得r=2,外接圆的面积为4。(23)解:()由 从而C的直角坐标方程为()M点的直角坐标为(2,0)N点的直角坐标为所以P点的直角坐标为所以直线OP的极坐标方程为(24)解:()当a=-1时,f(x)=x-1+x+1.由f(x)3得x-1+x+1|3()x-1时,不等式化为1-x-1-x3 即-2x3
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