讲义4.1平行四边形的性质及判定 知识要点归纳1、 平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，在四边形ABCD中，ABDC，ADBC，那么四边形ABCD是平行四边形。定义的作用：（1）给出一种判定四边形是平行四边形的方法，如果所给四边形的两组对边分别平行，那么它一定是平行四边形；（2）给出了平行四边形的一个重要性质:两组对边分别平行。例一、 如图，在平行四边形ABCD中，EFAB，GHAD,图中有多少个平行四边形？注意：平行四边形的定义是判定四边形是否是平行四边形的方法之一。2、 平行四边形的性质（1） 定义性质：平行四边形的两组对边分别平行。（2） 性质:A、平行四边形的对角相等。B、平行四边形的对边相等。C、平行四边形的对角线互相平分。 （3）平行四边形是中心对称图形，平行四边形绕其对角线的交点旋转180后，与自身重合，我们说平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点。注意：边：对边平行，对边相等；角：对角相等，邻角互补；对角线：对角线互相平分。例二、 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，周长为80cm， 3、 平行四边形的面积 平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积，如图所示,平行四边形ABCD的面积=BCAE=CDBF,也就是平行四边形的面积=底边长高=ah（其中a是平行四边形的任意一条边长，h必须是a边与其对边的距离。） 注意：同底(等底)同高（等高）的平行四边形面积相等，如图所示，平行四边形ABCD与平行四边EBCF有公共边BC，则平行四边形ABCD的面积=平行四边形EBCF的面积。例三、 如图，已知平行四边形ABCD中的周长是36cm，DE、DF分别是它的两条高，且DE= 4、 平行四边形的概念和性质在实际应用中易出现的错误如：平行四边形的一条角平分线分对边为3和4两部分，求平行四边形的周长。例四、如图，线段AB、AD相交于点A，若过点B作直线BEAD，在BE上取一点C，使BC=AD,连接CD，则AC与BD的关系是 。5、 运用平行四边形的性质计算（1） 平行四边形的对边平行如：如图，在平行四边形ABCD中，CE是的平分线，F是AB的中点，AB=6，BC=4，求AE:EF:FB.（2） 平行四边形的对角相等，对边相等。如：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且AE=CF，已知DE=3cm，求BF.（3） 平行四边形的对角线互相平分 如：如图，已知O是平行四边形ABCD的对角线交点，AC=38cm，BD=24cm，AD=14cm，例五、 已知如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别在AD、BC上，E、F在对角线上，且AM=CN,BE=DF,则MF与NE有怎样的位置关系？并说明理由。 例六、如图，在平行四边形ABCD中，AECF，AE与BD相交于点P,CF与BD相交于点Q，BP与DQ是否相等？请说明理由。6、开放性思维问题添加的条件由解题者提供，再利用平行四边形的性质，得到已知结论；或根据题目中的已知条件，同学们自己写出结论，再进行证明或设计一种方案并证明它的正确性。如：如图，在平行四边形ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是CN与BQ相交于M,在不添加其他条件的情况下，试写出一个由上述条件推出来的结论，并给出证明过程（要求推理过程中要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件）。 例七、如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，要使，还需添加一个什么条件？ （只需添加一个条件）例八、如图，现有一块等腰直角三角形的铁板，通过切割焊接成一个含有45角的平行四边形，请你设计一种最简单的方案，并证明你的方案是正确的。7、 构成或转移平行四边形的边和角应用平行四边形的性质可以证明线段相等，角相等，因此常构造平行四边形，利用平行四边形的对边相等、对角相等来转移边和角，从而把分散的条件集中起来。如图，平行四边形ABCD中，2AB=AD,AB=AE=BF.求证：ECFD.注意：（1）证明线段的垂直关系通常可以通过证角等于90；（2）在解决有关平行四边形的问题时，要善于通过平行四边形的性质和全等三角形两种途径寻求等量关系。例九、如图，在四边形ABCD中，ADBC,且ADBC，BC=6cm,P、Q分别从A、C同时出发，P以1厘米/秒的速度由A向D运动，Q以2厘米/秒的速度由C向B运动，几秒后四边形ABQP是平行四边形？8、 平行四边形的判定法（1） 定义判定法：两组对边分别平行是的四边形是平行四边形。（2） 定理判定法：A、 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。B、 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。C、 对角线互相平分的四边形是平行四边形。D、 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 例十、若一个四边形的边长是a、b、c、d，其中a、c为对边，满足，则此四边形是 。 例十一、如图，在AC,PFAB,分别交AB、AC于E、F，请猜想线段PE、PF、AB之间存在什么关系，并证明你的猜想。9、 三角形中位线定理（1） 三角形中位线的定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；（2） 三角形中位线定理：三角形中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半；（3） 三角形中位线定理的作用：A、位置关系：可以证明两条直线平行；B、数量关系：可以证明线段的相等或倍分。（4） 三角形中位线定理的应用：平行四边形的判定。已知DE为平行且等于FC，所以FC平行且等于BD，则四边形BCFD为平行四边形。如图（2）所示，延长DE至F，使EF=DE，连接DC、AF、FC,则四边形ADCF为平行四边形，有AD平行且等于FC，所以FC平行且等于BD，则四边形BCFD为平行四边形。如图（3）所示，过C作CFAB交DE的延长线于F，则,有AD平行且等于CF，所以FC平行且等于BD，则四边形BCFD为平行四边形。注意：（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成了一个新的三角形；（2）要会区别三角形的中线与中位线。例十二、如图，三角形ABC中，延长BA到D，使,点E、F分别为边BC、AC的中点。(1) 求证：DF=EB;(2) 过点A作AGBC,交DF于G，求证:AG=DG.10、 证明四边形为平行四边形的方法(1) 证明两组对边分别相等，得平行四边形。如：如图，在三角形ABC中，,BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E,F在DE的延长线上，并且AF=CE.求证：四边形ACEF是平行四边形。(2) 证明两组对边分别平行，得平行四边形。 如：如图，在三角形ABC中，AB=AC，E是AB的中点，D在BC上，延长ED到F，使ED=DF=EB,连接FC。求证：四边形AEFC是平行四边形。(3) 证明一组对边平行且相等，得平行四边形。如：已知平行四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点。求证：EB=DF.(4) 证明对角线互相平分，得平行四边形。如：已知:E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形。 例十三、如图，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC,点E在BC上，点F在AD上，AF=CE,EF与对角线BD相交于点O，求证：O是BD的中点。例十四、如图，在三角形ABC中，AE=BF,FHEGAC，求证：EG+FH=AC.例十五、如图，在三角形ABC中，,AC的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E,点F在BC的延长线上，且求证：四边形CEDF是平行四边形。例十六、如图，AB、CD交于点O,ACDB，AO=BO，E、F分别为OC、OD的中点，连接AF、BE,求证:AFBE.11、 学科综合问题 本节常与全等三角形、等腰三角形知识结合在一起考查，需灵活运用平行四边形的性质和判定，在解决问题时，不单是孤立判定一个四边形是平行四边形，往往是判定出一个四边形是平行四边形后，要利用平行四边形的性质、三角形的相关知识等解决问题。 如：如图所示；在平行四边形ABCD中，AE=CF,点M、N分别是DE、BF的中点，求证：FM=EN. 注意：证明两条线段相等的常用方法：（1）等角对等边；（2）等腰三角形底边上的高（或顶角平分线）平分底边；（3）证明线段所在的三角形全等；（4）一点为某线段的中点；（5）平行四边形的对边相等或对角线互相平分。例十七、如图，三角形ABC为等边三角形，P是三角形ABC内任一点，PDAB,PEBC，DFAC，若三角形ABC的周长为12，则PD+PE+DF等于多少？12、 探索思维问题 本节中的探索性问题，主要体现在对方法和结论的探究上，要与全等三角形、等腰三角形知识综合在一起，灵活运用平行四边形的性质和判定。 如：已知；如图，三角形ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB上的点，且CD=BF,以AD为边作等边三角形。 （1）求证：; （2）点D在线段BC的何处时，四边形CDEF是平行四边形，且?证明你的结论。例十八、已知：如图四边形ABCD中，ABDC，E是BC的中点，AE、DC的延长线相交于点F，连接AC、BF。 （1）求证：AB=CF; （2）四边形ABFC是什么四边形？请说明理由。13、 实际应用问题 平行四边形的判定等知识，常与直角三角形，等腰三角形，面积问题结合在一起，应用到实际生产中去，将实际问题建立起几何模型，用几何知识解决，是中考热点题型之一。 如：某厂焊接车间有一块三角形的铁板，根据需要，现要把它加工成一个平行四边形的铁板，要求完全利用材料，怎样加工呢?你能帮工人师傅把切割的路线用虚线画出来吗？试一试，并给出简单的说明。 注意：在对图形进行分割转化时(等积变化)，常取图形各边的中点，在此基础上进行分割旋转或平移。例十九、如图，某村有一个四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D上各栽有一颗大核桃树，村里准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保留核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状，请问该村能够实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由。课堂作业家庭作业地址：重庆市观音桥步行街未来国际B栋251，2电话：86798566 86798567网址：www.my-lc.com.cn E-mail:lianchuangedu163.com- 13 -