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简单的三角恒等变换,1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、 正切 公式. 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、 余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、 正切公式,了解它们的内在联系.,1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式,2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2 ; (2)cos2 ; (3)tan2,2sincos,cos2sin2,2cos21,12sin2,思考探究 你能用tan表示sin2和cos2吗?,提示:sin22sincos , cos2cos2sin2 ,考点一 三角函数式求值,1.解决三角函数的给值求值问题的关键是把“所求角”用“已 知角”表示. (1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角” 的和或差的形式; (2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角” 的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已 知角”.,(1)设cos( ) ,sin( ) ,且 ,0 ,求cos( ). (2)已知sin( )sin( ) ,( ,),求sin4.,思路点拨,例2,课堂笔记 (1) ,0 , , . 故由cos( ) ,得sin( ) . 由sin( ) ,得cos( ) . cos( )cos( )( ) . cos()2cos2 1 .,(2)法一:sin( )sin( )sin( )cos( ) , sin( 2) ,即cos2 . ( ,),则2(,2), sin2 于是sin42sin2cos2 .,法二:由条件得 (cossin) (cossin) , 即 (cos2sin2) . cos2 . 由2(,2)得sin2 , sin4 .,1.通过先求角的某个三角函数值来求角,在选取函数时, 遵照以下原则: (1)已知正切函数值,选正切函数; (2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围 是(0, ),选正、余弦皆可;若角的范围是(0,), 选余弦较好;若角的范围为( , ),选正弦较好.,2.解给值求角问题的一般步骤为: (1)求角的某一个三角函数值; (2)确定角的范围; (3)根据角的范围写出所求的角.,已知0 ,tan ,cos( ) . (1)求sin的值; (2)求的值.,思路点拨,例3,课堂笔记 (1)tan 所以 又因为sin2cos21,0 ,解得sin . (2)因为0 ,所以0 . 因为cos( ) ,所以sin( ) .,所以sin sin( )sin( )coscos( )sin 因为( ,),所以 .,保持例题条件不变,求cos().,解:由例题可知sin ,cos , sin ,cos , cos()coscossinsin,两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具,是每年高考的必考内容,常在选择题中以条件求值的形式考查.近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中,并且成为高考的一个新考查方向.,(2009广东高考)(12分)已知向量a(sin,2)与b(1,cos)互相垂直,其中(0, ). (1)求sin和cos的值; (2)若5cos()3 cos,0 ,求cos的值.,考题印证,【解】 (1)ab,sin1(2)cos0sin 2cos.(2分) sin2cos21,4cos2cos21cos2 (4分) (0, ),cos sin .(6分),(2)由5cos()3 cos有, 5(coscossinsin)3 cos(8分) cos2 sin3 cos, cossin.(10分) 0 ,cos (12分),自主体验 已知向量a(cos,sin),b(cos,sin),|ab| (1)求 cos()的值; (2)若0 , 0,且sin ,求sin的值.,解:(1)a(cos,sin),b(cos,sin), ab(coscos,sinsin). |ab| , 即22cos() ,cos() .,(2)0 , 0,sin , cos ,,0 , cos( ) , sin( ) ,sinsin( ) sin( )cos cos( )sin ,38,对于(1),利用a/bx1y2-x2y1=0(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2),求出sin+cos的值;对于(2),根据(sincos)2=1sin2实现求值,但要注意确定sin-cos的符号zxxk,三角、向量交汇,39,40,1sincos,sincos之间的关系为(sincos)2=12sincos,(sin+cos)2+(sin-cos)2=2,由此知三者知其一,可求其二,但需注意角的范围对结果的影响2从整体上看,若令sin+cos=t,则sincos= ,消元常用 3双弦齐次式可化归为切函数,41,1.(2009福建高考)函数f(x)sinxcosx的最小值是 ( ) A.1 B. C. D.1,解析:f(x)sinxcosx sin2x,f(x)min .,答案:B,2.(2009陕西高考)若3sincos0,则 的值为 ( ) A. B. C. D.2,解析:由3sincos0得cos3sin, 则 ,答案:A,3.sin(65x)cos(x20)cos(65x)cos(110x)的 值为 ( ),解析:原式sin(65x)cos(x20)cos(65x)cos90(x20) sin(65x)cos(x20)cos(65x)sin(x20) sin(65x)(x20)sin45 .,答案:B,4.(2010黄冈模拟)已知sin( ) ,则cos( 2) .,解析:cos( 2)2cos2( )1,且cos( ) sin( ) . 所以cos( 2) .,答案:,5.已知a(cos2,sin),b(1,2sin1),( ,), 若ab ,则tan( )的值为 .,解析:由ab ,得cos2sin(2sin1) , 即12sin22sin2sin ,即sin . 又( ,),cos ,tan , tan( ),答案:,6.(2009江苏高考)设向量a(4cos,sin),b(sin, 4cos),c(cos,4sin). (1)若a与b2c垂直,求tan()的值; (2)求|bc|的最大值; (3)若tantan16,求证:ab.,解:(1)由a与b2c垂直. a(b2c)ab2ac0, 即4sin( )8cos()0,tan( )2. (2)bc(sin cos ,4cos 4sin ), |bc|2sin2 2sin cos cos2 16cos2 32cos sin 16sin2 1730sin cos 1715sin2 ,最大值为32, 所以|bc|的最大值为,(3)证明:由tantan16,得sinsin16coscos, 即4cos4cossinsin0,故ab.,注意事项:,(1)在运用诱导公式的过程中,常出现三角函数名变换错误、三角函数值的符号错误等情况,应加强对公式的理解,避免出现错误。 (2)在利用三角恒等变换求三角函数值时不要忽略正弦、余弦函数的有界性,重视角的范围的探求。,56,1.要熟练掌握三角函数的变换工具,主要是掌握基本变换公式及其作用:诱导公式用于角度之间的关系变换;同角公式用于不同三角函数名之间的变换;和、差、倍角公式则是综合变换的“纽带”. 2.要充分把握三角函数的变换规律.三角变换时,需会用“切化弦”“弦化切”“辅助角”“1的代换”等技巧,追求“名、角、式”(三角函数名、角度、运算结构)的统一,其中角的变换是三角变换的核心,例3 已知函数 (1)若对任意xR都有 成立, 求a的取值范围; (2)若 ,求关于x的不等式 的解集.,例4 已知向量a , b ,其中 ,求函 数f(x)ab|ab|的值域.,
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