18世纪的几何与代数,分析的光芒使18世纪综合几何的发展暗然失色，但分析方法的应用却开拓出了一个崭新的几何分支，即微分几何，从而改变了18世纪几何学的面貌。“代数”在18世纪数学家心目中则是“分析”的同义语，他们将分析看作是代数的延伸。在这种情况下，18世纪的代数学为下个世纪的革命性发展做出了必要准备。,1 微分几何的形成,微积分的创始人已经利用微积分研究曲线的曲率、拐点、渐伸线、渐屈线等而获得了属于微分几何范畴的部分结果。但微分几何成为独立的数学分支主要是在18世纪。1731年法国数学家克莱洛发表了关于双重曲率曲线的研究，开创了空间曲线理论，是建立微分几何的重要一步。 欧拉是微分几何的重要奠基人。他早在1736年就引进了平面曲线的内在坐标概念，即以曲线弧长作为曲线上点的坐标。在无限小分析引论第2卷中则引进了曲线的参数表示： x = x(s), y = y(s), z = z(s),欧拉将曲率定义为曲线的切线方向与一固定方向的交角相对于弧长的变化率,并推导了空间曲线任一点曲率半径的解析表达式 欧拉的曲率定义是对克莱洛引进的空间曲线的两个曲率之一的标准化（另一个曲率,现在叫“挠率”，其解析表示到19世纪初才得到）。欧拉关于曲面论的经典工作关于曲面上曲线的研究（1760）被公认为微分几何史上的一个里程碑。欧拉在其中,将曲面表示为z = f ( x, y ), 并引进了相当于,的标准符号外，欧拉还正确地建立了曲面的曲率概念，引进了法曲率、主曲率等概念，并得到了法曲率的欧拉公式,（其中 是主曲率，是一法截面与主曲率所在法截面的交角）。1771年以后，欧拉还率先对可展曲面理论进行了研究，导出了曲面可展性的充分必要条件。 18世纪微分几何的发展因蒙日的工作而臻于高峰。蒙日于1795年发表的关于分析的几何应用的活页论文是第一部系统的微分几何著述。他将空间曲线与曲面理论与微分方程紧密结合，在曲面簇、可展曲面及直纹面研究方面获得了大量深刻的结果。与大多数学数学家不同的是，蒙日不仅将分析应用于几何，同时也反过来用几何去解释微分方程，从而推动后者的发展。他开创了偏微分方程的特征理论，引进了探讨偏微分方程的几何工具：特征曲线与特征锥（现称“蒙日锥”）等，它们至今仍是现代偏微分方程论中的重要概念。,18世纪代数学的主题仍然是代数方程。在这个世纪的最后一年，年青的高斯在他的博士论文中公布了代数基本定理的第一个实质性证明。高斯的这一成果可以看作是18世纪方程论的一个漂亮的总结。代数基本定理断言n次代数方程恰有n个根。它最早是由荷兰数学家吉拉尔于1629年提出，后经笛卡尔、牛顿等众多学者反复陈述、应用，但均未给出证明。高斯的思想具有深刻的意义，因为其证明是纯粹存在性的。在此之前，几乎所有的数学家都习惯于通过实际构造来证明问题解的存在。 相对于代数基本定理而言，高次方程根式可解性问题显得并不怎么幸运。尽管未能在18世纪奏响解决的凯歌, 但这个世纪的数学家们还是为此做出了历史性贡献，其中以拉格朗日的工作最为重要。他在1770年的一篇长文中探讨了一般三、四次方程能根式求解的原因，并猜测高次方程一般不能根式求解。1799年，拉格朗日的部分猜测被意大利的鲁菲尼所证实。可以说，他们已经走到了成功的边缘，虽然未能达到目标，却为下一世纪的最终冲刺指明了方向。 方程组理论也是颇受关注的代数方程问题。首先是线性方程组与行列式理论。瑞士数学家克拉姆在其代数曲线分析引论（1750）中提出了由系数行列式来确定线性代数方程组解的表达式的法则，即“克拉姆法则”。行列式理论在1772年被法国数学家范德蒙德系统化，自此成为独立的数学对象。范德蒙德用二阶子行列式及其余子式来展开行列式的法则，后来被拉普拉斯推广到一般情形而称为“拉普拉斯展开”。,2 方程论及其他,与方程论相联系的是人们对数的认识。18世纪的数学家还谈不上有完整的数系概念和建立数系的企图。虽然在接受负数与复数方面还存有疑虑与争议，但在弄清复数的意义方面却也有些功绩。随着微积分的发展，复数几乎进入了所有的初等函数领域，并且在应用上卓有成效。达朗贝尔在1747年关于一切复数均可以表示成形式 a + b i 的断言开始被多数人接受。1797年，丹麦数学家韦塞尔创造了复数的几何表示，并发展了复数的运算法则。等到1806年瑞士人阿尔冈、1831年高斯各自独立发表了关于复数几何表示的研究之后，笼罩着虚数的疑云终于被驱散开来。 18世纪数学家在澄清无理数逻辑基础方面没有进展，但他们以相对平静的态度接受了一些数的无理性。欧拉在1737年证明了e是无理数。他的证明以连分数为基础，他得到 e 的连分数展开：,因为他已经证明了每一个有理数都能表示成一个有限的连分数，所以e必定是无理数。1761年，兰伯特用类似方法证明了圆周率是无理数。稍后勒让德甚至猜测说可能不是任何有理系数方程的根。这促使数学家们将无理数区分为代数数和超越数。1844年，法国数学家刘维尔第一次真正地显示了超越数的存在，他证明了形如,的数（a1 , a2 , a3 , 为从0到9的任意整数）都是超越数。1873年和1882年，法国数学家埃尔米特和德国数学家林德曼又分别证明了e和 的超越性。,虽然古希腊、中国与印度的数学著作中早就给出了不少问题和结果，但近代意义上的数论研究还得从费马开始。费马提出了大量定理或猜想，让全世界的数学家们忙碌了好几个世纪，有的至今仍为现代数论饶有兴趣的课题。 (1)费马小定理：如果 p是素数， a与p互素，则 ap - a可以被 p 整除。 1640年10月18日,费马给德贝西（B.Frenicle de Bessy）的信中提出。 (2)费马大定理：对于任意大于 2的自然数 n，方程xn + yn = zn 没有整数解。 费马阅读巴歇（C.-G.Bachet）校订的丢番图算术时的批注。1670年费马及其子萨缪尔（Samuel）的批注连同巴歇校订的算术再版，此问题公诸于世。 (3)平方数问题：I）每个4n + 1形的素数和它的平方都只能以一种方式表示为两个平方数之和；每个4n + 1形的素数的三次方和它的四次方都只能以两种方式；其五次方和六次方都能以三种方式，如此等等，以至无穷。如 n = 1时， 5 = 22 + 12 ， 52 = 32 + 42， 53 = 22 + 112 = 52 + 102 ，等等；II）每个正整数可表示成四个或少于四个平方数之和。 (4)费马数：形如 Fn = 22 + 1 （n = 0, 1, 2, 3, ）的数永远是素数. 1640年，费马给梅森的信中提出。 (5)佩尔方程的解：当A是正数而非完全平方数时，佩尔（J.Pell, 1611-1685）方程 x2 - Ay2 = 1 有无穷个整数解。 1657年2月,费马给德贝西（B.Frenicle de Bessy）的信中提出。 18世纪的数论尤其受到了费马思想的主宰，该时期得到的许多结果，都与证明费马提出的这些猜想有关。,3 数论的进展,n,1732年，欧拉推翻了费马关于费马数的结论，证明n = 5时， Fn = 22 + 1 不是素数，它有一个因子641。今天我们知道，对于 n = 5 16， Fn 都是合数。还存在其他的 n 使 Fn 是合数。 1736年，欧拉证明了费马小定理是正确的。 1753年，欧拉在致哥德巴赫(C.Goldbach,1690-1764)的一封信中宣布证明了n = 3时的费马大定理。其证明使用了一种称为“无限下降法”技巧。该技巧实际也是费马的发明。他曾使用这种方法证明了如下定理：边长为整数的直角三角形其面积不可能是整数的平方。这也是费马惟一写出了证明过程的定理。证明大意是：令x, y, z为直角三角形的边长， z 是斜边，则有x2 + y2 = z2 ,设三角形面积为 u2, u是整数，三角形面积应为u2 = xy/2. 依靠一套巧妙的推理, 费马导出了另一组正整数 X1 , Y1 , Z1 和 U1 , 因为X1 , Y1 , Z1 和 x , y , z有同样性质，故根据同样推理可导出另一组正整数X2 , Y2 , Z2 , U2 , 使得,5,且有Z2 Z1 .,且有Z1 z ,使得,这一推理过程可以无限继续下去，这将引出矛盾，因为不可能有无限下降的正整数序列，所以结论只能是：不存在面积为某个整数的平方而边长均为整数的直角三角形。 费马还曾在给朋友的信中宣称自己用无限下降法证明了n = 4时的费马大定理，但却没有寄出证明过程。德贝西根据费马的提示在1676年补出了这一证明。无限下降法在18世纪成为一种证明数论问题的有用技巧。,18世纪的数学家们也有自己的猜想，其中最著名的是哥德巴赫猜想与华林问题。1742年6月7日，哥德巴赫在给欧拉的信中提出了自己的猜想： 每个偶数是两个素数之和；每个奇数是三个素数之和。 哥德巴赫的原始陈述相当含糊，欧拉将其进一步明确化，但却未能证明这个命题。哥德巴赫猜想现在的表述形式是英国数学家华林在他的代数沉思录中首先给出的。华林在同一著作中还提出了他自己的一个猜想： 任一自然数n，可表示成至多r个数的k次幂之和，其中r 依赖于k。 “华林问题”与哥德巴赫猜想，以及费马那些未获得解决的命题一起，为后世数论研究提供了持久的刺激。华林问题直至1909年才由德国数学家希尔伯特首次证明。1994年，费马大定理也由英国数学家维尔斯证明，而哥德巴赫猜想至今仍然悬而未决。（格尔曼1776-31） 18世纪数论还有两项深刻的工作需要特别提到，它们都属于欧拉。一个是欧拉在1737年导出的一个恒等式,该恒等式在数论与分析之间架起了一座桥梁，是解析数论的肇端。另一个是欧拉在1743年发现的二次互反律。诚如他所预言，二次互反律在19世纪成为数论研究的重要课题并引出“许多伟大的结果”，从而开启了代数数论的新领域。,其中 s 1, n 取遍所有的正整数， p取遍所有素数。,从17世纪初开始，数学经历了近两个世纪的开拓，在18世纪行将结束的时候，数学家们对自己从事的这门科学却奇怪地存在着一种普遍的悲观情绪。拉格朗日于1781年在写给达朗贝尔的信中说：“在我看来似乎（数学的）矿井已经挖掘很深了，除非发现新的矿脉，否则迟早势必放弃它，科学院中几何学（指数学）的处境将会有一天变成目前大学里阿拉伯语的处境一样，那也不是不可能的。”欧拉和达朗贝尔都同意拉格朗日的观点。法国法兰西学院一份关于1789年以来数学科学进展的历史及其现状的报告更是预测在数学的“几乎所有的分支里，人们都被不可克服的困难阻挡住了；把细枝末节完善化看来是剩下来惟一可做的事情了，所有这些困难好象是宣告我们的分析的力量实际上是已经穷竭了”。 这种世纪末悲观主义的由来，可能是因为17、18世纪数学与天文力学的紧密结合，使部分数学家把天文与力学看成是数学发展的几乎惟一源泉，而一旦这种结合变得相对滞缓和暂时进入低谷，就会使人感到迷失方向。当然也有人看到了曙光，孔多塞在1781年写道：“不应该相信什么我们已经接近了这些科学必定会停滞不前的终点，我们应该公开宣称，我们仅仅是迈出了万里征途的第一步！”,4 18世纪末数学发展的悲观情绪,从根本上说，数学的发展与人类的生产实践和社会需求密切相关，对自然的探索是数学研究最丰富的源泉。但是，数学的发展对于现实世界又表现出相对的独立性。一种数学理论一经建立，便可基于逻辑思维向前推进，并由此导致新理论与新思想的产生。因此，内在的逻辑需要也是数学进步的重要动力之一。过于看重数学进展对现实需要的依赖，而忽视数学发展的内在动力，难免产生对数学发展前景的悲观预见. 生产实践的需要 数学发展的动力 数学内部的矛盾 数学家的求知欲,实际上，就在18世纪后半叶，数学内部悄悄积累的矛盾已经开始酝酿新的变革。当时的数学家们面临着一系列数学自身产生的、长期悬而未决的问题，其中最突出的是： （1）高于四次的代数方程的根式求解问题； （2）欧几里得几何中平行公理的证明问题； （3）牛顿、莱布尼