Sichuan University Jinjiang College,Signals and Systems,信号与系统,四川大学锦江学院,第3章 系统的时域分析,3.1 线性非时变系统的描述及特点 3.2 连续时间LTI 系统的响应 3.3 离散时间LTI 系统的响应 3.4 冲激响应表示的系统特性,X,3.3 离散时间LTI系统的响应,X,3.3.1 离散时间系统的零输入响应 3.3.2 离散时间系统的零状态响应 3.3.3 单位脉冲响应 3.3.4 序列卷积和,已知n个初始状态 y-1 , y-2 , , y-n 和输入xk，由差分方程迭代出系统的输出yk 。,DLTI系统的数学模型(后差分方程)为,迭代法求DLTI系统响应,X,【例315】一阶DLTI系统的差分方程为 yk-0.5yk-1 = uk ，k0 初始状态 y-1=1，用迭代法求解系统响应。,解：,代入初始状态，可求得,依此类推,缺点：很难得到闭合形式的解。,X,将差分方程写成,3.3.1 DLTI 系统的零输入响应,1. 定义: 当输入信号为零, 仅由系统的初始状 态产生的输出响应, 用yzik表示。,2. 求解的数学模型-齐次差分方程:,由差分方程的特征根确定响应的形式。,再由初始条件确定待定系数。,3. 求解零输入响应 yzik的方法：,X,【例316】已知某DLTI系统的差分方程式为 yk+3yk-1+2yk-2 = xk 初始状态为y-1=0 , y-2=0.5 , 求零输入响应 yzik。,解：,系统的特征根为,解得 C1=1，C2= -2,X,系统的特征方程为,解得 C1 = 4 C2 = 4,X,【例317】已知某DLTI系统的差分方程式为 yk+4yk-1+4yk-2 = xk 初始状态为y-1=0 , y-2= -1 , 求零输入响应 yzik。,解：,系统的特征根为,系统的特征方程为,yk-0.5yk-1+yk-2 -0.5yk-3 = xk 初始状态为 y-1 = 2 , y-2= -1 , y-3 = 8 求系统的零输入响应 yzik 。,解得 C1 = 1 ， C2 = 0 ， C3 = 5 。,X,【例318】已知某DLTI系统的差分方程式为,解：,系统的特征根为,系统的特征方程为,3.3.2 DLTI系统的零状态响应,1. 定义: 当初始状态为零 , 由系统的外部激 励信号xk产生的响应 , 用 yzsk表示。,2. 求解系统零状态响应 yzs k的方法：,卷积法-利用信号分解和线性时不变系 统的特性求解。,用经典法解初始状态为零的差分方程。,X,一、零状态响应的定义及求解方法,3.3.2 DLTI 系统的零状态响应,X,二、卷积法求解零状态响应的思路,3. 利用线性非时变系统的特性，即可求出任 意信号xk激励下系统的零状态响应 yzs k。,1. 将任意输入信号xk分解为单位脉冲信号 dk的线性组合。,2. 求出单位脉冲信号dk作用在系统上的零 状态响应-脉冲响应 hk。,时不变特性,均匀特性,积和特性,脉冲响应hk的定义,X,3.3.2 DLTI系统的零状态响应,三、卷积法求解零状态响应的推导,【例319】已知某DLTI系统的差分方程为,求系统的零状态响应 yzsk。,解：,X,一、单位脉冲响应hk的概念,单位脉冲序列 k作用于离散时间LTI系统所产生的零状态响应称为单位脉冲响应 , 用符号hk表示。,3.3.3 DLTI系统的单位脉冲响应,1. 单位脉冲响应的定义,X,一、单位脉冲响应 hk的概念,3.3.3 DLTI系统的单位脉冲响应,(2) hk是一个特殊的零状态响应。,N 阶DLTI系统的单位脉冲响应hk满足：,2. 单位脉冲响应的特性,(1) hk只与系统的结构、参数有关。,(3) hk是一个特殊的零输入响应。,X,二、单位脉冲响应hk的求解方法,2. 等效初始条件法,(1) 将d k对系统的瞬时作用转化为系统的 等效初始条件。,(2)由等效初始条件及 hk满足的差分方程 求出特殊的零输入响应 hk。,1. 迭代法,3.3.3 DLTI系统的单位脉冲响应,X,【例320】某离散因果LTI系统的差分方程为 求系统的单位脉冲响应 hk。,解：,(1) 求等效初始条件,对于因果系统有h-1 = h-2 = 0，代入上面方程可推出：,注意：选择初始条件的基本原则是必须将d k的作用体现在初始条件中。,可以选择h0和h1 或h-1和h0作为初始条件。,X,hk满足方程,(2) 求差分方程特殊的零输入响应h(k),特征方程为：,特征根为：,齐次解表达式为：,解得 C1 = -1 C2 = 2,X,【例320】某离散因果LTI系统的差分方程为 求系统的单位脉冲响应 hk。,解：,hk满足方程,1. 序列卷积和定义,2. 卷积和计算步骤,将xk、hk中的自变量由 k 改为 n 。 把其中一个信号翻转, 如将hn翻转得 h-n。 把h-n平移 k，得到hk-n。k 0图形右移， k 0图形左移。 将xn与 hk-n 相乘。 对乘积后的图形求和。,X,3.3.4 序列卷积和,一、图解法计算序列卷积和,【例321】已知 xk = uk，hk = akuk ，0a1， 计算 yk = xk*hk,X,解：,k 0 , xn与hk-n图形不相遇,yk=0,X,【例321】已知 xk = uk，hk = akuk ，0a1， 计算 yk = xk*hk,解：,k 0 , xn与hk-n图形相遇,X,【例321】已知 xk = uk，hk = akuk ，0a1， 计算 yk = xk*hk,解：,X,【例321】已知 xk = uk，hk = akuk ，0a1， 计算 yk = xk*hk,解：,【例322】计算 yk = RNk* RNk。,解：,X,k 0 时， RNn 与 RNk-n图形不相遇,yk = RNk*RNk = 0,【例322】计算 yk = RNk* RNk。,解：,X,0 k N -1 时 , 重合区间为 0 , k ,【例322】计算 yk = RNk* RNk。,解：,X,N-1 k 2N -2时 , 重合区间为k -(N-1) , N-1,【例322】计算 yk = RNk* RNk。,解：,X,k 2N-2时，RNn与RNk-n图形不再相遇,【例322】计算 yk = RNk* RNk。,解：,X,yk = RNk*RNk = 0,【例322】计算 yk = RNk* RNk。,解：,X,3.3.4 序列卷积和,X,二、列表法计算序列卷积和,设 xk和hk都是因果序列，则有,以上求解过程可以归纳成列表法。,对角斜线上各数值的和就是 yk 各项的值。,3.3.4 序列卷积和,X,二、列表法计算序列卷积和,X,解:,【例323】计算 与 的卷积和。,X,三、序列卷积和的性质,交换律:,xk * hk = hk * xk,xk*h1k*h2k = xk*h1 k*h2 k,xk*h1k+h2k = xk*h1k+xk*h2k,结合律:,分配律:,1. 代数定律,X,3.3.4 序列卷积和,2. 位移特性,则 xk * d k- n = xk- n,推论：若 xk*hk = yk,则 xk- n * hk- m = yk- (n+m ),若 yk = xk*hk,3.3.4 序列卷积和,三、序列卷积和的性质,X,3. 差分与求和特性,(1)差分特性： 若 yk = xk*hk,(2)求和特性： 若 yk = xk*hk,3.3.4 序列卷积和,三、序列卷积和的性质,X,解:,利用位移特性可得,【例324】计算 与 的卷积和。,X,系统响应的分解,X,1. 零输入响应与零状态响应,yzik为零输入响应，它与系统的结构、参数和起始状态有关, 而与系统的输入信号无关。,yzsk为零状态响应，它与系统的结构、参数和输入信号有关, 而与系统的起始状态无关。,系统响应的分解,X,2. 固有(自然)响应与强制响应,yhk为固有响应，亦称自然响应，它是完全响应 yk 中与系统的特征根相对应的那部分响应。,ypk为强制响应，亦称强迫响应，它是完全响应 yk中与系统的外部激励相对应的那部分响应。,系统响应的分解,X,3. 瞬态(暂态)响应与稳态响应,ytk为瞬态响应，亦称暂态响应，它是完全响应 yk中随时间增长而逐渐衰减并最终趋于零的那部分响应。,ysk为稳态响应，它是完全响应 yk中随时间增长而不衰减的那部分响应。,【例325】已知某因果DLTI系统的差分方程为,解： 求零输入响应 yzik,系统的特征方程为 r2 3r + 2 = 0,系统的特征根为 r1 = 1, r2 = 2,零输入响应通解为,解得 A = -1 , B = 8,则零输入响应为,X,解得 C = -1 D = 2,【例325】已知某因果DLTI系统的差分方程为,X,解：求单位脉冲响应hk,因系统特征根 r1 = 1 , r2 = 2，所以hk的形式为,解：求系统的零状态响应 yzsk,【例325】已知某因果DLTI系统的差分方程为,X,固有响应为：,强迫响应为：,稳态响应为：,暂态响应为：,【例325】已知某因果DLTI系统的差分方程为,X,解： 求系统的完全响应 yk、固有响应、强迫响 应、稳态响应、暂态响应,3.4 冲激响应表示的系统特性,3.4.1 级联系统的冲激响应 3.4.2 并联系统的冲激响应 3.4.3 因果系统的冲激响应 3.4.4 稳定系统的冲激响应,X,一、连续级联系统的冲激响应,3.4.1 级联系统的冲激响应,X,结论: 连续级联系统的冲激响应等于两个 子系统冲激响应的卷积。,二、离散级联系统的脉冲响应,结论: 离散级联系统的脉冲响应等于两个 子系统脉冲响应的卷积。,3.4.1 级联系统的冲激响应,X,一、连续并联系统的冲激响应,结论: 连续并联系统的冲激响应等于两个子系统 冲激响应之和。,3.4.2 并联系统的冲激响应,X,二、离散并联系统的脉冲响应,3.4.2 并联系统的冲激响应,结论: 离散并联系统的脉冲响应等于两个子系统 脉冲响应之和。,X,【例326】求下图所示连续系统的冲激响应, 其中 h1(t) = e-3t u(t) ，h2(t) =(t -1) ，h3(t) = u(t)。,解：,整个系统由子系统h1(t)与子系统h2(t)级联后再与子系统h3(t)相并联而