20102010 年高考大纲卷全国年高考大纲卷全国理科数学试题及答案理科数学试题及答案 ( (必修必修+ +选修选修 II)II) 第第 I I 卷卷 参考公式：参考公式： 如果事件互斥，那么 球的表面积公式A、B ()( )( )P ABP AP B 2 4SR 如果事件相互独立，那么 其中 R 表示球的半径A、B 球的体积公式()( )( )P A BP A P B: 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是，那么 p 3 3 4 VR 次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中 R 表示球的半径nAk ( )(1)(0,1,2,) kkn k nn P kC ppkn 一、选择题一、选择题 (1)复数 32 23 i i (A) (B) (C)12-13 (D) 12+13 iiii (2)记,那么cos( 80 )k tan100 A. B. - C. D. - 2 1k k 2 1k k 2 1 k k 2 1 k k (3)若变量满足约束条件则的最大值为, x y 1, 0, 20, y xy xy 2zxy (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 （4）已知各项均为正数的等比数列，=5，=10，则= n a 123 a a a 789 a a a 456 a a a (A) (B) 7 (C) 6 (D) 5 24 2 (5)的展开式中x 的系数是 353 (12) (1)xx (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4 (6)某校开设 A 类选修课 3 门，B 类选择课 4 门，一位同学从中共选 3 门，若要求两类课程 中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30 种 (B)35 种 (C)42 种 (D)48 种 （7）正方体 ABCD-中，B与平面 AC所成角的余弦值为 1111 ABC D 1 B 1 D A B C D 2 3 3 3 2 3 6 3 （8）设 a=2,b=In2,c=,则 3 log 1 2 5 A af(1)=1+=3,即 a+2b 的取值范围是(3,+). 2 1 【解析 2】由 00，所以. 456 a a a n a 456 505 2a a a 5.C 解析：本题考查了二项式定理.展开式的通项为， 3 (12)x 2 133 (2)2 r rrrr r TCxC x 展开式的通项为，因此， 53 (1)x 3 3 155 ()( 1) r rrrr r TCxC x 展开式的各项为，当时有且 353 (12) (1)xx 23 35 ( 1)2 rr rrrr CCx 1 23 r r 0r 或且两种情况，因此展开式中的系数为（-10）+12=2，故选 C.3r 2r 0r x 6.A 解析：本题考查了排列组合知识.不同的选法分两类，A 类选修课 1 门，B 类选修课 2 门，或者 A 类选修课 2 门，B 类选修课 1 门，因此，共有种选法， 2112 3434 30CCCC 故选 A. 7.D 解析：本题考查了立体几何中线面角的求法. 与平面所成角等于与平 1 BB 1 ACD 1 DD 面所成角,在三棱锥中，由三条侧棱两两垂直得点 D 在底面内的射 1 ACD 1 DACD 1 ACD 影为等边的垂心即中心 H，则为与平面所成角,设正方体棱长 1 ACD 1 DD H 1 DD 1 ACD 为 a,则，故选 D. 1 6 6 3 cos 3 a DD H a 8.C 解析：本题考查了代数式大小比较的方法.，又 3 ln2 log 2ln2 ln3 ab ，因此，故选 C. 1 2 11 5 25 c 33 1 log 2log3 2 a cab 9.B 解析：本题考查了双曲线中有关焦点三角形的问题.由双曲线焦点三角形面积公式得 ，设 P 到 x 轴的距离为 h，则由 12 2 cot1 cot303 2 F PF Sb ，P 到 x 轴的距离为，选 B. 12 12 11 2 23 22 F PF SFFhh 6 2 h 6 2 10.C 解析：本题考查了对数函数、对数式的运算性质、对勾函数图像性质.由题意 ，由得，因此，01ab ( )( )f af blglgablglg0ab1ab ，由对勾函数性质知在单调递减，因此，即 2 2aba a 2 yx x (0,1)23ab 的取值范围是，故选 C.2ab(3,) 11.D 解析：本题考查了向量数量积的定义运算，考查了最值的求法，考查了圆的切线性质.设,|OPx ,2APB 则，, ， 2 | |1PAPBx 1 sin x 2 2 2 cos21 2 sin1 t 则 222 22 22 11 (1)32 23PA PBxxx xx 当且仅当时，取“=” ，故的最小值为，故选 D. 2 2x PA PB 2 23 12.B 解析：本题考查了球和多面体的组合体问题，考查了空间想象能力.如图，过 OCD 三 点作球的截面，交 AB 于点 M，由条件知，、均为边长为 2 的等边三角形，OABOCD 设 M 到 CD 的距离为，A 到面 MCD 的距离为，B 到面 MCD 的距离为，则h 1 h 2 h ，因此， 1212 11 1 ()() 33 2 A BCDA MCDB MCDMCD VVVShhCD hhh 当 AB面 MCD 时， 最大，故选 B. 1 14 3 2 2 3 (1 1) 3 23 A BCD V 二、填空题二、填空题 13. 解析：本题考查了不等式的基本性质. 由得 |02xx 2 211xx ，不等式解 2 22 101 211 21(1)02 xx xx xxx 02x 集为. . |02xx 14. 解析：本题考查了同角三角函数的关系，二倍角公式以及两角和差的三角函数公式.由， 1 7 2 3 cos22cos1 5 且为第三象限角得，得， 5 cos 5 tan2 ，. 4 tan2 3 1tan21 tan(2 ) 41tan27 15 解析：本题考查了利用数形结合的思 5 1 4 a 想解题的策略. 如图，作出的图像， 2 |yxxa 1 4 a 2 yxxa 2 yxxa a x y A B C D M O 若要使与其有四个交点，需满足，解得.1y 1 1 4 aa 5 1 4 a 16. 解析：本题考查了椭圆离心率的求解策略.不妨设椭圆 C 焦点在轴上，中心在原 3 3 x 点，B 点为椭圆上顶点，F 为右焦点，则由,得 D 点到右准线的距离是 B 点到2BFFD 右准线距离的一半，则 D 点横坐标，由知，F 分所成比为 2， ，由 2 2 D a x c 2BFFD BD 定比分点坐标公式得，得，得. 2 202 2 123 a a c c c 22 3ca 3 3 e 三、解答题 17. 解： 由及正弦定理得cotcotabaAbB sinsincoscos sincoscossin ABAB AABB 从而sincoscossincossinsincos 4444 AABB sin()sin() 44 AB 又0AB 故 44 AB 2 AB 所以 2 C 18. 解： ()记 A 表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审； B 表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审； C 表示事件：稿件能通过复审专家的评审； D 表示事件：稿件被录用. 则 D=A+BC, ( )0.5 0.50.25, ( )2 0.5 0.50.5, ( )0.3,P AP BP C ()()P DP AB C: =( )()P AP B C: =( )( ) ( )P AP B P C =0.25+0.50.3 =0.40. ()，其分布列为：(4,0.4)XB 4 (0)(1 0.4)0.1296,P X 13 4 (1)0.4 (1 0.4)0.3456,P XC 222 4 (2)0.4(1 0.4)0.3456,P XC 33 4 (3)0.4(1 0.4)0.1536,P XC 4 (4)0.40.0256.P X 期望.4 0.41.6EX 19. 解法一：()连接 BD,取 DC 的中点 G，连接 BG, 由此知 即为直角三角形，故.1,DGGCBGABCBCBD 又,ABCD,BCSDSD 平面故 所以，.BC 平面BD S, BCD E 作，BK EC ,EDCSBCK为垂足，因平面平面 故与平面 SBC 内的两条相交,BKEDCBKDE DE平面， 直线 BK、BC 都垂直 DE平面 SBC，DEEC,DESB 22 6SBSDDB 2 3 SD DB DE SB : 22 62 6 -,- 33 EBDBDESESB EB 所以，SE=2EB () 由知 22 5,1,2,SASDADABSEEB ABSA . 22 12 1,AD=1 33 AESAAB 又 故为等腰三角形.ADE 取中点 F,连接,则.EDAF 22 6 , 3 AFDE AFADDF 连接，则.FG/ /,FGEC FGDE 所以，是二面角的平面角.AFGADEC 连接 AG,AG=,2 22 6 3 FGDGDF , 222 1 cos 22 AFFGAG AFG AF FG : 所以，二面角的大小为 120.ADEC 解法二： 以 D 为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，DAxDxyz 设 A(1,0,0)，则 B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2) （）(0,2,-2),(-1,1,0)SCBC 设平面 SBC 的法向量为=(a,b,c)n 由，得,nSC nBC 0,0n SCn BC : 故 2b-2c=0,-a+b=0 令 a=1，则 b=c,c=1,=(1,1,1)n 又设 ，则SEEB (0) 2 (,) 111 E 2 (,),(0,2,0) 111 DEDC 设平面 CDE 的法向量=(x,y,z)m 由,得，,mDE mDC 0mDE 0mDC 故 . 2 0,20 111 xyz y 令