第二章 平面向量2.1 向量的概念及表示【学习目标】1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量；2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别；3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。【学习重难点】重点：平行向量的概念和向量的几何表示；难点：区分平行向量、相等向量和共线向量；基础梳理1.向量的定义：_;2.向量的表示：（1）图形表示： （2）字母表示：3.向量的相关概念：（1）向量的长度（向量的模）：_记作：_（2）零向量：_，记作：_（3）单位向量：_（4）平行向量：_（5）共线向量：_（6）相等向量与相反向量：_思考：（1）平面直角坐标系中，起点是原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？_（2）平行向量与共线向量的关系：_（3）向量“共线”与几何中“共线”有何区别：_【典型例题】例1.判断下例说法是否正确，若不正确请改正：（1）零向量是唯一没有方向的向量； （2）平面内的向量单位只有一个；（3）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是相反向量；（4）向量和是共线向量，则和是方向相同的向量；（5）相等向量一定是共线向量；例2.已知是正六边形的中心，在图中标出的向量中：（1）试找出与共线的向量；（2）确定与相等的向量；（3）与相等吗？例3.如图所示的为的方格纸（每个小方格都是边长为1的正方形），试问：起点和终点都在小方格的顶点处且与向量相等的向量共有几个？与向量平行且模为的向量共有几个？与向量的方向相同且模为的向量共有多少个？课后巩固训练1.判断下列说法是否正确，若不正确请改正：（1）向量和是共线向量，则四点必在一直线上；（2）单位向量都相等；（3）任意一向量与它的相反向量都不想等；（4）四边形是平行四边形当且仅当；（5）共线向量，若起点不同，则终点一定不同；2.平面直角坐标系中，已知，则点构成的图形是_3.四边形中，则四边形的形状是_4.设，则与方向相同的单位向量是_5.若分别是四边形的边的中点。求证：6.已知飞机从甲地北偏东的方向飞行到达乙地，再从乙地按南偏东的方向飞行到达丙地，再从丙地按西南方向飞行到达丁地，问：丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？2.2.1 向量的加法【学习目标】1.掌握向量加法的定义；2.会用向量加法的三角法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量；3.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算【学习重难点】重点：向量加法的三角法则、平行四边形则和加法运算律；难点：向量加法的三角法则、平行四边形则和加法运算律；基础梳理1.向量的和、向量的加法：已知向量和，_则向量叫做与的和，记作：_叫做向量的加法注意：两个向量的和向量还是一个向量；2.向量加法的几何作法：（1）三角形法则的步骤： 就是所做的（2）平行四边形法则的步骤： 就是所做的注意：向量加法的平行四边形法则，只适用于对两个不共线的向量相加，而向量加法的三角形法则对于任何两个向量都适用。3.向量加法的运算律：（1）向量加法的交换律：_（2）向量加法的结合律：_思考：如果平面内有个向量依次首尾相接组成一条封闭折线，那么这条向量的和是什么？_【典型例题】例1.如图，已知为正六边形的中心，作出下列向量：（1） （2） （3）例2.化简下列各式（1） （2）（3） （4）例3.在长江南岸某处，江水以的速度向东流，渡船的速度为，渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？课后巩固训练1.已知，求作：（1）（2）2.已知是平行四边形的交点，下列结论正确的有_（1） （2）（3） （4）3.设点是内一点，若，则点为的_心；4.对于任意的，不等式成立吗？请说明理由。2.2.2 向量的减法【学习目标】1.理解向量减法的概念；2.会做两个向量的差；3.会进行向量加、减得混合运算4.培养学生的辩证思维能力和认识问题的能力【学习重难点】重点：三角形法则难点：三角形法则，向量加、减混合运算基础梳理1.向量的减法：与的差：若_，则向量叫做与的差，记为_向量与的减法：求两个向量差的运算叫做向量的减法；注意：向量的减法是向量加法的逆运算。2.向量的减法的作图方法：作法：_ _ _则3.减去一个向量等于加上这个向量的相反向量 4.关于向量减法需要注意一下几点：在用三角形法则做向量减法时，只要记住连接两向量的终点，箭头指向被减向量即可.以向量为邻边作平行四边形，则两条对角线的向量为，这一结论在以后应用还是非常广泛，应加强理解；对于任意一点，简记“终减起”，在解题中经常用到，必须记住.【典型例题】例1.已知向量，求作向量：；思考：如果，怎么做出？例2.已知是平行四边形的对角线的交点，若试证明：思考？1.（1）（2）2.任意一个非零向量都可以表示为两个不共线的向量和？例3.化简下列各式（1）（2）（3）课后巩固训练1.在中，下列等式成立的有_（1）（2）（3）（4）2.已知四边形的对角线与相交与点，且，求证：四边形是平行四边形。3.如图，是一个梯形，分别是的中点，已知试用表示和2.2.3 向量的数乘（1）【学习目标】1.掌握向量数乘的定义，会确定向量数乘后的方向和模；2.掌握向量数乘的运算律，并会用它进行计算；3.通过本课的学习，渗透类比思想和化归思想【学习重难点】重点：向量的数乘及运算律；难点：向量的数乘及运算律；基础梳理1.向量的数乘的定义：一般地，实数与向量的积是一个向量，记作：_；它的长度和方向规定如下：（1）（2）当时，_；当时，_； 当时，_； _叫做向量的数乘2.向量的线性运算定义：_统称为向量的线性运算；3.向量的数乘的作图：已知作当时，把按原来的方向变为原来的倍；当时，把按原来的相反方向变为原来的倍；4.向量的数乘满足的运算律：设为任意实数，为任意向量，则（1）结合律_（2）分配律_注意：（1）向量本身具有“形”和“数”的双重特点，而在实数与向量的积得运算过程中，既要考虑模的大小，又要考虑方向，因此它是数形结合的具体应用，这一点提示我们研究向量不能脱离它的几何意义；（2）向量的数乘及运算性质可类比整式的乘法来理解和记忆。【典型例题】例1.已知向量，求作：（1）向量 （2）例2.计算（1）（2）（3）注意：（1）向量的数乘与实数的数乘的区别：相同点：这两种运算都满足结合律和分配律。不同点：实数的数乘的结果（积）是一个实数，而向量的数乘的结果是一个向量。（2）向量的线性运算的结果是一个向量，运算法则与多项式运算类似。例3.已知是不共线的向量，试用表示例4.已知：中，为的中点，为的中点，相交于点，求证：（1）（2）（3）课后巩固训练1.计算：（1）（2）2.已知向量且求3.在平行四边形中，为的中点，用来表示4.如图，在中，为边的中线，为的重心，求向量2.2.3 向量的数乘（2）【学习目标】1.理解并掌握向量的共线定理；2.能运用向量共线定理证明简单的几何问题；3.培养学生的逻辑思维能力【学习重难点】重点：向量的共线定理；难点：向量的共线定理；基础梳理1.向量的线性表示： 若果，则称向量可以用非零向量线性表示；2.向量共线定理：思考：向量共线定理中有这个限制条件，若无此条件，会有什么结果？【典型例题】例1.如图，分别是的边的中点，（1）将用线性表示；（2）