六安一中20172018年度高二年级第二学期开学考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知直线的方向向量，直线的方向向量，若，且，则的值是（ ）A-1或3 B1或-3 C-3 D12.已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（ ）A B3 C D3.如图，在四面体中，是底面的重心，则等于（ ）A BC D4.设、是椭圆：的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ）A B C D5.已知直线：和直线：，抛物线上一个动点到直线与的距离之和的最小值为（ ）A B C3 D26.已知椭圆和双曲线有相同的焦点，是它们的一个交点，则的形状是（ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D随，的变化而变化7.已知是双曲线：上的一点，是的两个焦点，若，则的取值范围是（ ）A B C D8.已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交于，两点.若的中点坐标为，则的方程为（ ）A B C D9.如图所示，在直二面角中，四边形是边长为的正方形，是等腰直角三角形，其中，则点到平面的距离为（ ）A B C D10.已知椭圆：，动圆与椭圆相交于，四点，当四边形的面积取得最大值时，的值为（ ）A B C D11.已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A B C D12.已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则的最小值为（ ）A16 B14 C12 D10二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若，分别是椭圆：短轴上的两个顶点，点是椭圆上异于，的任意一点，若直线与直线的斜率之积为，则 14.已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线于、两点，若，则的离心率为 15.正方体中，棱长为，则直线与的距离为 16.已知是椭圆上的点，分别是圆和上的点，则的最小值是 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知双曲线过点和点.（1）求双曲线的标准方程；（2）若点在双曲线上，为双曲线的左、右焦点，且，求的余弦值.18.如图，三棱柱中，.（1）证明：；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.19.已知动圆恒过点，且与直线：相切.（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）探究在曲线上，是否存在异于原点的两点，当时，直线恒过定点？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由.20.设，分别是椭圆：的左、右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为.（1）若直线的斜率为，求的离心率；（2）若直线在轴上的截距为，且，求，.21.如图，在以，为顶点的五面体中，面为正方形，且二面角与二面角都是.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.22.设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点.（1）求点的轨迹方程；（2）设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围.六安一中20172018年度高二年级第二学期开学考试数学试卷（理科）一、选择题1-5: BAACD 6-10: BADBC 11、12：BA二、填空题13. 2 14. 15. 16. 7三、解答题17.（1）.（2）因为点在双曲线上，且，所以点在双曲线的右支上，则有，故，又，因此在中，.18.【解析】证明：（1）取的中点，连结，.因为，所以.由于，故为等边三角形，所以.因为，所以平面.又平面，故.（2）解：由（1）知，.又平面平面，交线为，所以平面，故，两两相互垂直.以为坐标原点，的方程为轴的正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.由题设知，.则，.设是平面的法向量，则即可取.故.所以与平面所成角的正弦值为.19.【解析】（1）因为动圆，过点且与直线：相切，所以圆心到的距离等于到直线的距离.所以，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，且，所以所求的轨迹方程为.（2）假设存在，在上，所以直线的方程：，即.即的方程为：，即.即：，令，得，所以，无论，为何值，直线过定点.20.【解析】（1）由题意得：，的斜率为，又，解得或-2（舍），故直线的斜率为时，的离心率为.（2）由题意知，点在第一象限，直线的斜率为：，则：；在直线上，得，且，又在椭圆上，联立、解得：，.21.【解析】（1）为正方形，面，面，平面平面.（2）由（1）知，平面，平面，平面，平面，面面，四边形为等腰梯形，以为原点，如图建立坐标系，设，设面法向量为，即，设面法向量为，.即，设二面角的大小为.，二面角的余弦值为.22.解：（1）圆整理为，坐标，如图，则，由，则，则，根据椭圆定义为一个椭圆，方程为；（2）：；设：，因为，设：，.联立与椭圆：，则圆心到距离，所以，.10