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宁波市2017学年第二学期九校联考高二数学试题一、选择题(每小题4分,共40分)1.已知集合,则集合( )A B C D2.下列函数中,在定义域上为增函数的是( )A B C D3.已知函数,则下列选项错误的是( )A B C D 4.函数的零点所在的大致区间是( )A B C. D5.小明、小红、小泽、小丹去电影院看红海行动,四人座位是同一排且相邻的,若小明、小红不坐一起,则不同的坐法种数为( )A 24 B10 C.8 D126.已知函数,分别是定义在上的偶函数和奇函数,且,则( )A B4 C.0 D7.已知,且,则( )A B C. D8.已知是函数的导函数,且函数的图像如图所示,则的图像可能是( )ABC. D9.已知方程有三个解,则( )A B1 C. D10.已知直线的图像恒在曲线的图像上方,则的取值范围是( )A B C. D二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分)11.已知复数,其中为虚数单位,则 ;若是纯虚数(其中),则 12.若,则 ; 13.在的展开式中,常数项为 ;二项式系数最大的项为 14.已知函数,则 ;不等式的解集为 15.甲、乙、丙分别是宁波某高中语文、数学、英语老师,在本次期末考试中,三人均被安排在第一考场监考,该考场安排了语文、数学、英语、物理、化学、生物共6门科目考试.按照规定,甲、乙、丙3位老师每人监考2门科目,且不监考自己任教学科,则不同的监考方案共有 种16.已知函数,若对任意的,都有,则的最大值为 17.已知函数有零点,则的取值范围是 三、解答题: 共74分 18. (1)解不等式(2)已知且,求 19. 已知数列的通项公式,其前项和为(1)求,半猜想的表达式;(2)用数学归纳法证明你的猜想.20.已知函数 (1)求曲线在处的切线方程;(2)求函数在区间上的取值范围21. 已知函数,(1)判断函数的奇偶性;(2)若且,求函数在区间上的最大值22. 已知函数(1)()讨论函数的极值点个数;()若是函数的极值点,求证:(2)若,是的两个零点,证明:宁波市2017学年期末九校联考 高二数学参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.题号12345678910答案CBACDACBDB二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.11. ; 12. ;13. ; 14. ;15. 16. 17. 三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.解:()由题意可得 3分所以,即解得或或, 5分所以原不等式的解集为. 6分(),所以,解得. 9分法一:令,则 11分 又,所以. 14分法二:因为,所以, 11分则. 14分19.解:(), 3分6分由此猜想()当时, ,等式成立, 7分假设当时,等式成立,即, 8分则当时,10分14分所以当时,等式也成立, 综上,对任意的,. 15分20.解:() 3分则曲线在处的切线斜率为, 4分又, 5分则切线方程为,即. 7分()由()得, 8分令,得或,则当或时,当时,所以在和单调递减,在上单调递增, 12分又,则, 14分所以函数在区间上的取值范围是. 15分21. 解:()当时,因为,所以函数为奇函数. 3分当时,非奇非偶; 5分() 当时,有,在上单调递增,; 7分 当时, ,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,所以,而 ,当时,; 当时,; 10分 当时, , 所以在上单调递增,在上单调递减,此时; 12分 当时, , 所以在上单调递增,此时; 14分 综上所述, 当时, 15分 22.解:()的定义域为(), 1分当时,所以在上单调递增,此时无极值点; 2分当时,时,在单调递减,时,在单调递增,所以有一个极小值点,综上所述,时,无极值点;时,有一个极小值点. 4分()法一:由()得,则,所以, 5分即证,令, 6分,所以在上为增函数,因为,所以存在使得,则在单调递减,在单调递增,所以,所以,从而有. 9分法二:由()得,则,所以, 5分令,则,所以在单调递增,在单调递减,所以, 7分令,则,所以在单调递减,在单调递增,所以恒成立,即证. 9分()法一:不妨设,由()得,且,令, 11分 则在上单调递减, 13分所以即,所以,因为,所以,由()得在单调递增,所以,即. 15分法二:不妨设,由()得,且因为, 10分 当时,所以,要证,即证,因为在上单调递增,故只需证,即证,因为,令,所以单调递减,则,从而,即. 13分 当时,所以,要证,即证,因为在上单调递减,故只需证,即证,因为,令,所以单调递减,则,从而,即. 15分
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