=附录：宏观经济学分析方法：微分方程或差分方程动力（动态）系统（10、11硕已讲，精细订正版）经济分析中常常涉及大量的微分方程与差分方程，如Solow经济中描述资本存量运动的Solow方程，以及随后涌现出来的各种描述跨时变量运动的方程等等。微分方程或差分方程的求解方法和解的性质是很重要的，是理解经济动态（特别是经济增长理论）的必要数学基础。零、逆矩阵的求法 对于一个矩阵，其逆矩阵是指满足关系的惟一矩阵注意只有当为方阵且非奇异时，逆矩阵才存在逆矩阵乘上原矩阵简化为单位矩阵，所以，逆矩阵在线性代数中起着普通代数中的倒数的作用求逆矩阵的公式为例1 已知求其逆矩阵解：1检查是否为方阵，因为只有方阵才可能有逆存在这里为维的，是方矩阵2计算的行列式以确信，因为只有非奇异矩阵才可能有逆存在为非奇异的；3求的余子式矩阵，转置余子式矩阵以得到共轭矩阵4以乘共轭矩阵，得到5作乘法或以检验答案的正确性如果答案正确，两个积均应为单位矩阵零、矩阵的特征根与特征向量到目前为止，我们能够利用主子式来检验海赛行列式和二次型的符号定性符号定性也可以利用矩阵的特征根来检验给定矩阵，如果能够找到一向量及标量，使得 (124)则，标量称为特征根，向量称为特征向量方程(124)也可表示为 整理，得 (125)其中称为的特征矩阵由于假设，则特征矩阵必为奇异的，从而其行列式必为零如果为矩阵，则在(125)中，由于，则(125)有无穷个解可以通过标准化的元素，即要求满足，以得到惟一解见例9如果1) 所有特征根为正的，则为正定的2) 所有特征根为正的，则为正定的3) 所有的为非负的，且至少有一个，则为半正定的4) 所有为非正的，且至少有一个，则为半负定的5) 有些为正，而另一些则为负，则为符号不定的例8 已知求的特征根解：由于特征矩阵的行列式必为零，所以 （126）由于二个特征根均为负，则为负定的注意：(1) 必等于的对角线上的元素之和，(2)一定等于行列式的值例9 继续例8，求第一个特征根的特征向量：解： 将代入(126)， （12.7） 由于系数矩阵为线性相关的，则(127)有无穷多个解，矩阵与向量相乘得到两个完全相同的方程， 以求解得 (12. 8)再标准化(128)的解，使得 (129)将代入(129)，得到所以，. 取正平方根，由(128)，.因此，则第一个特征向量为求第二个特征根的特征向量： 将代入(126)，乘积为所以，.标准化 所以 一、联立微分方程的矩阵解(I) （重点！10、11硕，讲）设有一个由个一阶自控线性微分方程所组成的方程组，其中任何一个导数都不是其他导数的函数并且为了便于简化记号，这里我们限定“自控”，就是指所有的和都是常数。 (19. 1)用矩阵形式表示或该系统的全部解包括个方程每一个方程依次由(1)一个余解和(2)一个特解组成1(a)余解具有下列形式， (192)其中是一个标量或常数，是由常数组成的列向量，称为特征向量，是一个标量，称为特征根(b)特征根也称为特征值，他们可以通过解二次式 (19. 3)得到，其中是矩阵A的行列式，是A迹。等于A主对角线上的元素之和这里，设，(c)要求特征向量的解，需要求解 (194)其中是一个标量，是单位阵，这里为。方程(194)称为特征值向量方程，特征向量可通过解(194)中的得到为避免只有零解，限定矩阵为奇异阵。2. 特解是稳定状态的解 特解由下式得到， (19. 5)其中，是的逆矩阵，是由常数组成的列向量 模型的稳定性由特征根决定：如果所有的，模型是动态稳定的.如果所有的，模型是动态非稳定的如果取不同符号，解处于鞍点平衡，而且除非沿鞍式路径，否则模型不稳定例1 求解下列一阶自控线性微分方程组解：1为了便于计算，将上述方程组转化方矩阵形式2然后求余函数由(192)，余函数有形式再由(193)，得特征根为其中，代入， 是特征根或特征值3下面我们求解特征向量因为为奇异阵，由(194)得，其中(a)首先，将代入，得然后通过简单的行与列相乘得到，因为被限定为奇异阵，所以方程之间是线性相关的选择任意一个方程即可由于线性相关性，将有无穷多个特征向量满足方程我们可通过选择一个单位向量使方程标准化，即，该式被称为欧几里得距离条件我们也可简单地为个量选取一个任意值，然后通过方程解出其他量选择后者，如果，则.因此，对应于的特征向量是通解中余函数的第一部分的两个元素是(b)其次，将代入得，行与列相乘得，如果，则因此，对应于的特征向量为通解中余函数的第二项的两个元素是将两部分合并得方程组的补解， 4我们现在求稳定状态解.由(195)知其中,余子阵为，伴随阵为因此，逆矩阵是代入(19.5)得行与列相乘得于是通解是 (196)由于且，均衡不稳定。例2 为了求出例1的定解，我们简单地利用初始条件：将代入(19.6)得联立求解得将其代入(19. 6)，得到定解由于特征根都是正根，此特解仍然是动态不稳定的例3 求解下列微分方程组.解：1. 用矩阵形式表示，2. 求特征根，3. 确定特征向量，a)对，如果，则，而且余函数的第二部分的元素是b)对，如果，则，而且余函数的第二部分的元素是故余函数是4.对于稳定状态解，于是通解为 （19.28）5由初始条件，求定解.联立解得代入(1928)，我们得到最后的结果由于，我们得到一个鞍点解鞍点解一般是不稳定的，除非初始条件落在鞍式路径：上代入后得， 这就是鞍式路径的方程将初始条件代入，我们看到由于初始条件没有落在鞍式路径上，方程组不稳定二、联立微分方程的矩阵解(II) 设有一个由n个一阶自控线性微分方程所组成的方程组，其中一个或多个导数是其他导数的函数并且为了便于简化记号，这里我们限定n=2 (197)其矩阵形式为通解由一个余函数和一个特解组成如同前面的例子，对于不同的实根，我们假设余函数具有一般形式 (198)这里的特征值问题为 (199)其中 特征方程是 (1910)特解是 (1911)稳定条件与前一节中相同例3 求解下列一阶自控非线性微分方程组 1首先将方程写成(197)的形式，然后用矩阵表示为 2假设具有不同的实根，求余函数 (a)从特征方程开始，求特征根由(19.10) (b)代入并且为了简化省略下标i 得特征根 3求特征向量由(199)，其中(a)首先，代入， 通过简单的矩阵相乘得， 如果设，有 对应于的余函数的第一部分是(b)现在将代入得， 行与列相乘 设，有 对应于的余函数的第二部分是 将两部分相加得余函数 4求特解，它不过是暂态的均衡解由(1911)， 其中 余子阵为，伴随阵为Adj. 因此，逆矩阵是 代入(1911)得 5. 将特解或稳定状态解加到(1912)中的余函数上，得通解 (1913) 由于，方程组动态稳定例4 为了求例3的定解，我们简单地给定初始条件：，将代入(1913)得 联立求解得 将其代入(1913)，得定解 三、联立差分方程的矩阵解(I) 设有一个由个一阶线性差分方程所组成的方程组，其中任何一个差分都不是其他差分的函数，并且所有系数都是常数为了便于简化记号，这里我们仍限定，其矩阵形式为设系数矩阵，则 (1914)全解包括个方程，每一个方程依次由余解和特解组成我们假设余函数具有一般形式 (1915)特征值问题为 (1916)特征方程是其中的特征根可由(193)求得。特解由下式求得 (