单元评估检测(六)第六章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2014天门模拟)设P和Q是两个集合,定义集合P+Q=x|xP或xQ且xPQ.若P=x|x2-3x-40,Q=x|y=log2(x2-2x-15),那么P+Q等于()A.-1,4B.(-,-14,+)C.(-3,5)D.(-,-3)-1,4(5,+)2.下列推理是归纳推理的是()A.A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=2a|AB|,则P点的轨迹为椭圆B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式C.由圆x2+y2=r2的面积r2,猜想出椭圆x2a2+y2b2=1的面积S=abD.以上均不正确3.(2014宜昌模拟)若a0,b0,且a+2b-2=0,则ab的最大值为()A.12B.1C.2D.44.(2014荆门模拟)若实数a,b,c成公差不为0的等差数列,则下列不等式不成立的是()A.|b-a+1c-b|2B.a3b+b3c+c3aa4+b4+c4C.b2acD.|b|-|a|c|-|b|5.(2013宿州模拟)如果实数x,y满足条件x-y+10,y+10,x+y+10,那么2x-y的最大值为()A.2B.1C.-2D.-36.条件p：142x16,条件q：(x+2)(x+a)0,y0,lg2x+lg8y=lg2,则1x+13y的最小值是()A.2B.2C.4D.239.设x,y满足约束条件3x-y-60,x-y+20,x0,y0,若目标函数z=ax+by(a0,b0)的最大值为12,则a29+b24的最小值为()A.12B.1325C.1D.210.(2013随州模拟)变量x,y满足约束条件x+2y2,2x+y4,4x-y-1,则目标函数z=3|x|+|y-3|的取值范围是()A.32,9B.-32,6C.-2,3D.1,6二、填空题(本大题共7小题,每小题5分,共35分.请把正确答案填在题中横线上)11.设a,bR,给出下列条件：a+b1;a+b=2; a+b2;a2+b22;ab1,其中能推出：“a,b中至少有一个实数大于1”的条件是_.12.(2014十堰模拟)若不等式-ax-1a成立的充分条件是0x0,b0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则1a+2b的最小值是_.16.(2014黄冈模拟)已知a,b都是正实数,函数y=2aex+b的图象过(0,1)点,则1a+1b的最小值是_.17.(能力挑战题)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),定义：f(x)是函数y=f(x)的导数f(x)的导数,若方程f(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0)为函数y=f(x)的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有拐点;任何一个三次函数都有对称中心,且拐点就是对称中心”.请你将这一发现作为条件,则函数f(x)=x3-3x2+3x的对称中心为_.三、解答题(本大题共5小题,共65分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)18.(12分)已知a,b,c,dR,用分析法证明：ac+bd(a2+b2)(c2+d2)并指明等号何时成立.19.(13分)(2014天津模拟)已知函数f(x)=x2+2x+a.(1)当a=12时,求不等式f(x)1的解集.(2)若对于任意x1,+),f(x)0恒成立,求实数a的取值范围.20.(13分)(2013黄山模拟)若x,y满足约束条件x+y1,x-y-1,2x-y2,(1)求目标函数z=12x-y+12的最值.(2)若目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,求a的取值范围.21.(13分)某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求,进行了20天的测试,人为地调控每天产品的单价P(元/件)：前10天每天单价呈直线下降趋势(第10天免费赠送品尝),后10天呈直线上升,其中4天的单价记录如表：时间(将第x天记为x)x1101118单价(元/件)P9018而这20天相应的销售量Q(百件/天)与x对应的点(x,Q)在如图所示的半圆上.(1)写出每天销售收入y(元)与时间x(天)的函数关系式y=f(x).(2)在这20天中哪一天销售收入最高?为使每天销售收入最高,按此次测试结果应将单价P定为多少元为好?(结果精确到1元)22.(14分)(能力挑战题)已知函数f(x)=lnx+a1x-1,其中a为大于零的常数.(1)若函数f(x)在区间1,+)内单调递增,求实数a的取值范围.(2)求证：对于任意的nN*,且n1时,都有lnn12+13+1n恒成立.答案解析1.【解析】选D.由题意可知P=x|-1x4,Q=x|x5.所以P+Q=x|x5.2.【解析】选B.从S1,S2,S3猜想出数列的前n项和Sn,是从特殊到一般的推理,所以B是归纳推理.3.【解析】选A.由已知可得2=a+2b22ab,故2ab1,即ab12,等号成立的条件是a=2b=1.4.【解析】选B.设等差数列a,b,c的公差为d(d0),则b-a+1c-b=d+1d=|d|+1d2|d|1|d|=2,因此A成立;b2-ac=a+c22-ac=(a-c)240,因此C成立;由2b=a+c得|2b|=|a+c|c|+|a|,即|b|-|a|c|-|b|,因此D成立;对于B,当a=-1,b=-2,c=-3时,a3b+b3c+c3a=53,a4+b4+c4=98,此时B不成立.综上所述,选B.5.【解析】选B.先根据约束条件画出可行域：当直线2x-y=t过点A(0,-1)时,t取得最大值1,故答案为B.【方法技巧】解决线性规划问题的步骤(1)画出可行域.(2)确定目标函数的斜率.(3)画出过原点、斜率与目标函数斜率相同的直线.(4)平移直线,确定满足最优解的点.(5)求满足最优解的点的坐标,代入点的坐标可得解.6.【思路点拨】p是q的充分不必要条件,即pq而qp,按此判断即可.【解析】选D.由142x16,得2-22x24,即-2x4.由pq而qp可得(x+2)(x+a)0-2x4得a0,b0,所以z=ax+by在点M(4,6)处取最大值,所以4a+6b=12,即2a+3b=6.设m=a29+b24,由联立得b2-2b+2-2m=0.因为b有解,所以=4-4(2-2m)0,解得m12,故m的最小值为12,所以选A.【一题多解】本题还可用以下方法求解：题目在求得2a+3b=6,设m=a29+b24后,联立得.m=3-32b29+b24=1-b+b24+b24=12b2-b+1=12(b-1)2+12.因为2a=6-3b0,得b0,所以0b2.故当b=1时,mmin=12.故选A.10.【解析】选A.作出不等式组表示的平面区域如图.可知三个交点分别为(0,1),(2,0),12,3,且x0,y3.则z=3|x|+|y-3|=3x-(y-3)=3x-y+3,当它过点(2,0)处有最大值,过点12,3处有最小值.即32z9.11.【解析】对于,a,b均可小于1;对于,a,b均可等于1;对于,a,b均可为负数;对于,若a,b都不大于1,则a+b2,与矛盾.故若成立,则a,b中至少有一个实数大于1.答案：12.【解析】设A=x|-ax-1a=x|1-ax1+a,B=x|0x8,依题意,得(x-8)-4(x-8)x28%x.由于x0,因而原不等式化简为9x2-150x+4000.即(3x-10)(3x-40)0.解得103x403,故80,b0,所以1a+2b=1a+2b(2a+b)=4+ba+4ab4+4=8,当且仅当ba=4ab,即b=2a时等号成立.答案：816.【解析】依题意,1=2ae0+b,则2a+b=1,所以(2a+b)1a+1b=3+ba+2ab3+22,当且仅当2a+b=1,ba=2ab,即a=2-22,b=2-1时取等号.故1a