第第 3 章章 圆的基本性质圆的基本性质 3.1 圆圆(1) 点与圆的位置关系：dr点在圆外；d=r点在圆上；dr点在圆内.(d 表示同一平面内点到圆心 的距离，r 表示圆的半径) 1.已知O 的直径为 3cm，点 P 到圆心 O 的距离 OP=2cm，则点 P(A). A.在O 外 B.在O 上 C.在O 内 D.不能确定 2.在平面直角坐标系中，点 M(2，0)，M 的半径为 4，那么点 P(-2，3)与M 的位置关系是(C). A.点 P 在圆内 B.点 P 在圆上 C.点 P 在圆外 D.不能确定 3.如图所示，已知在矩形 ABCD 中，AB=3cm，BC=4cm，若以点 A 为圆心、5cm 长为半径画 A，则点 C 与A 的位置关系为(A). A.点 C 在A 上 B.点 C 在A 外 C.点 C 在A 内 D.无法判断 （第 3 题）（第 4 题）(第 8 题) 4.如图所示，在ABC 中，AB=2，BC=3，B=90，以点 B 为圆心作半径为 r 的B，要使点 A，C 在B 外，则 r 的取值范围是(A). A.0r2 B.0r3 C.2r3 D.r3 5.已知矩形 ABCD 的边 AB=15，BC=20，以点 B 为圆心作圆，使 A，C，D 三点至少有一点在 B 内，且至少有一点在B 外，则B 的半径 r 的取值范围是(C). A.r15 B.15r20 C.15r25 D.20r25 6.已知A 的直径是 8，点 A 的坐标是(3，4)，则坐标原点 O 在 A 外 (填“A 内” “A 上” 或“A 外”). 7.已知点 P 是O 所在平面内的一点，点 P 与圆上所有点的距离中，最长距离是 9cm，最短距离 是 4cm，则O 的直径是 5cm 或 13cm 8.如图所示，正方形 ABCD 的边长为 3，正方形 AEFG 的边长为 1.若正方形 AEFG 绕点 A 旋转一 周，则 C，F 两点之间的最小距离为 2 (结果保留根号).2 9.如图所示，在 RtABC 中，C=90，BC=3，AC=4，以点 B 为圆心，3 为半径作B. (1)AB 与 AC 的中点 D，E 与B 有怎样的位置关系？ (第 9 题) (2)若要让点 A 和点 C 有且只有一个点在B 内，则B 的半径应满足什么条件？ 【答案】(1)C=90，BC=3，AC=4，AB=5.D 为 AB 的中点，BD=2.5.点 D 在B 内. BEBC，点 E 在B 外. (2)设B 的半径为 r，当 BCrAB 时，点 A 和点 C 有且只有一个点在B 内.当 3r5 时， 点 A 和点 C 有且只有一个点在B 内. 10.如图所示为边长为 3cm 的正方形 ABCD，连结 AC，BD 相交于点 O，以点 A 为圆心，22cm 长 为半径画圆，试判断 B，C，D，O 四点与这个圆的位置关系 (第 10 题) 【答案】AB=BC=3，ABC=90，AC=3,AO=.AB=32，点 B 在圆外.2 3 22 2 AC=32，点 C 在圆外.AD=32，点 D 在圆外.AO=2，点 O 在222 3 22 2 圆内. 11.O 的半径为 4，圆心 O 到点 P 的距离为 d，且 d 是方程 x2-2x-8=0 的根，则点 P 与O 的位置关 系为(B). A.点 P 在O 内部 B.点 P 在O 上 C.点 P 在O 外部 D.点 P 不在O 上 12.如图所示，C 半径为 1，圆心坐标为(3，4)，P(m，n)是C 内或C 上的一个动点，则 m2+n2的 最小值是(B). A.9 B.16 C.25 D.36 (第 12 题)(第 13 题)(第 14 题) 13.如图所示，铁路 MN 和公路 PQ 在点 O 处交汇，QON=30，公路 PQ 上点 A 处距离点 O 240m， 如果火车行驶时，周围 200m 以内会受到噪声的影响，那么火车在铁路 MN 上沿 MN 方向以 72km/h 的速度行驶时，点 A 处受到噪声影响的时间为(B). A.12s B.16s C.20s D.24s 14.如图所示，菱形 ABCD 的边长是 13，点 O 是两条对角线的交点，且 OB=12.约定：三角形三边上 的任意一点到圆上的任意一点距离的最小值叫做三角形与圆的距离.依据这个约定，可知当C 的 半径是 2 或 16 时，ABD 与C 的距离为 3 (第 15 题) 15.如图所示，AB=8cm，点 D 从点 A 出发沿 AB 向点 B 匀速运动，速度为 1cm/s，同时点 C 从点 B 出发沿 BA 向点 A 以相同速度运动，以点 C 为圆心，2cm 长为半径作C，点 D 到达点 B 时C 也停 止运动，设运动时间为 t(s)，则点 D 在C 内部时 t 的取值范围是 3t5 16.如图所示，在四边形 ABCD 中，A=90，AB=53，BC=8，CD=6，AD=5，试判断点 A，B，C，D 是否在同一个圆上，并证明你的结论 (第 16 题) 【答案】点 A，B，C，D 在同一个圆上.证明：连结 BD.在 RtABD 中，BD=10. 22 ADAB 在BCD 中，82+62=102，即 BC2+CD2=BD2，BCD 是直角三角形.取 BD 的中点 O，OB=OC=OA=OD=BD.点 A，B，C，D 在以 BD 为直径的圆上. 2 1 17.如图 1 所示，O 的半径为 r(r0)，若点 P在射线 OP 上，满足 OPOP=r2，则称点 P是 点 P 关于O 的“反演点”.如图 2 所示，O 的半径为 4，点 B 在O 上，BOA=60，OA=8，若 点 A，B分别是点 A，B 关于O 的反演点，求 AB的长. 图 1 图 2 （第 17 题） （第 17 题答图） 【答案】点 A是点 A 关于O 的反演点，OAOA=r2.又r=4，OA=8，OA=2.同理可得 OB=4，即点 B 和点 B重合.设 OA 交O 于点 C，连结 BC，如答图所示.BOA=60， OB=OC，OBC 为等边三角形.又点 A为 OC 的中点，BAOC. 在 RtOAB中，OB2=OA2+AB2，即 42=22+AB2,AB=2.2 18.【枣庄】如图所示，在网格(每个小正方形的边长均为 1)中选取 9 个格点(格线的交点称为格 点)，若以点 A 为圆心、r 为半径画圆，选取的格点中除点 A 外恰好有 3 个在圆内，则 r 的取值范 围是(B). A.2r B. r3 C. r5 D.5r2171721729 （第 18 题） （第 18 题答图） 【解析】给各点标上字母，如答图所示.AB=2，AC=AD=，AE= 22 22 2 22 14 17 =3，AF=，AG=AM=AN=5，r3时，以 A 为 22 33 2 22 25 29 22 34 172 圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点 A 外恰好有 3 个在圆内.故选 B. 19.在 RtABC 中，C=90，AC=3，BC=，CDAB，垂足为点 D，以点 D 为圆心作D，使得点7 A 在D 外，且点 B 在D 内.设D 的半径为 r，那么 r 的取值范围是r . 4 7 4 9 （第 20 题） 20.(1)从 A 地到 B 地，甲走直径 AB 上方半圆的途径；乙先走直径 AC 上方半圆的途径，再走直径 CB 下方半圆的途径，如图 1 所示，已知 AB=40m，AC=30m，计算各人所走的路程，并比较两人所走 路程的远近 (2)如果甲、乙走的路程图改成图 2，两人走的路程相同吗？ 【答案】(1)BC=AB-AC=10(m)，甲所走的路程为AB=20(m),乙所走的路程为 2 1 AC+BC=20(m).两人所走路程相等. 2 1 2 1 (2)两人走的路程相同.理由如下：甲所走的路程为AB=2AB,乙所走的路程为 2 1 AC+CD+DB=(AC+CD+DB)=2AB，即两人走的路程相同. 2 1 2 1 2 1 2 1