课时分层作业课时分层作业( (十七十七) ) 回归分析的基本思想及其初步应用回归分析的基本思想及其初步应用 (建议用时：40 分钟) 基础达标练 一、选择题 1设有一个回归方程为 22.5x，则变量x增加一个单位时，( ) y Ay平均增加 2.5 个单位By平均增加 2 个单位 Cy平均减少 2.5 个单位 Dy平均减少 2 个单位 C C 由回归方程知x增加一个单位，y平均减少 2.5 个单位 2对变量x，y进行回归分析时，依据得到的 4 个不同的回归模型画出残差图，则下 列模型拟合精度最高的是( ) A A 用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明 这样的模型比较合适带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高 3为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取 5 对父子的身高数据如表所示： 父亲身高x(cm) 174176176176178 儿子身高y(cm) 175175176177177 则y对x的线性回归方程为( ) 【导学号：95032238】 A. x1 B. x1 y y C. 88x D. 176 y 1 2 y C C 设y对x的线性回归方程为 x ， y b a 176， 176，检验得y88 过点( ， ) xy x 2xy 4变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)； 变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)r1表 示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则( ) Ar2r10 B0r2r1 Cr20r1 Dr2r1 C C 画散点图，由散点图可知X与Y是正相关，则相关系数r10，U与V是负相关， 相关系数r20，故选 C. 5关于残差图的描述错误的是( ) A残差图的横坐标可以是样本编号 B残差图的横坐标也可以是解释变量或预报变量 C残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小 D残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小 C C 残差点分布的带状区域的宽度越宽，说明模型拟合精度越高，则残差平方和越小， 此时，相关指数R2的值越大，故描述错误的是选项 C. 二、填空题 6如图 311 四个散点图中，适合用线性回归模型拟合的两个变量的是_(填 序号) 图 311 由题图易知，两个图中的样本点在一条直线附近，因此适合用线性回归模 型拟合 7某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试 验根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程 0.67x54.9. y 零件数x(个) 1020304050 加工时间Y(min) 62758189 现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为_. 【导学号：95032239】 68 由表知 30，设模糊不清的数据为m，则 (62m758189)， xy 1 5 307m 5 因为 0.67 54.9， yx 即0.673054.9， 307m 5 解得m68. 8若一个样本的总偏差平方和为 80，残差平方和为 60，则相关指数R2为_ 0.25 回归平方和总偏差平方和残差平方和806020，故R20.25 或 20 80 R210.25. 60 80 三、解答题 9某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试 销，得到如下数据： 单价x(元) 88.28.48.68.89 销量y(件) 908483807568 (1)求回归直线方程 x ，其中 20， ； y b a b a y b x (2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是 4 元/ 件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润销售收入成本) 解 (1)由于 (88.28.48.68.89)8.5， x 1 6 (908483807568)80. y 1 6 所以 80208.5250，从而回归直线方程为 20x250. a y b x y (2)设工厂获得的利润为L元，依题意得 Lx(20x250)4(20x250) 20x2330x1 000 20361.25. (x 33 4) 2 当且仅当x8.25 时，L取得最大值 故当单价定为 8.25 元时，工厂可获得最大利润 10在一段时间内，某淘宝网店一种商品的销售价格x元和日销售量y件之间的一组 数据为： 价格x元 2220181614 日销售量y件 3741435056 求出y关于x的回归方程，并说明该方程拟合效果的好坏 参考数据： iyi3 992， 1 660. 5 i1 x 5 i1 x 2i 【导学号：95032240】 解 作出散点图(此处略)，观察散点图，可知这些点散布在一条直线的附近，故可 用线性回归模型来拟合数据 因为18， x 2220181614 5 45.4. y 3741435056 5 所以 2.35， b 3 9925 18 45.4 1 6605 182 45.4(2.35)1887.7. a 所以回归方程为 2.35x87.7. y yi i与yi 的值如下表： y y yi i y 10.3 2.40.1 1.2 yi y 8.44.42.4 4.610.6 计算得(yi i)28.3， 5 i1 y (yi)2229.2， 5 i1 y 所以R210.964. 8.3 229.2 因为 0.964 很接近于 1，所以该模型的拟合效果比较好 能力提升练 一、选择题 1如图 312,5 个(x，y)数据，去掉D(3,10)后，下列说法错误的是( ) 图 3-1-2 A相关系数r变大 B残差平方和变大 C相关指数R2变大 D解释变量x与预报变量y的相关性变强 B B 由散点图知，去掉D后，x与y的相关性变强，且为正相关，所以r变大，R2变 大，残差平方和变小 2已知x与y之间的几组数据如下表： x123456 y021334 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 x ，若某同学根据上表中的前两组 y b a 数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为ybxa，则以下结论正确的是( ) 【导学号：95032241】 A. b， a B. b， a b a b a C. b， a D. b， a b a b a C C 过(1,0)和(2,2)的直线方程为y2x2， 画出六点的散点图，回归直线的大概位置如图所示， 显然，b ， a，故选 C. b a 二、填空题 3甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性进行分析，并用回归分 析的方法分别求得相关指数R2与残差平方和Q( ， )如下表： a b 甲乙丙丁 R20.670.610.480.72 Q( ， ) a b 106115124103 则能体现A，B两个变量有更强的线性相关性的为_ 丁 丁同学所求得的相关指数R2最大，残差平方和Q( ， )最小此时A，B两变量 a b 线性相关性更强 4某品牌服装专卖店为了解保暖衬衣的销售量y(件)与平均气温x()之间的关系， 随机统计了连续四旬的销售量与当旬平均气温，其数据如表： 时间二月上旬二月中旬二月下旬三月上旬 旬平均 气温x() 381217 旬销售 量y(件) 55m3324 由表中数据算出线性回归方程 x 中的 2，样本中心点为(10,38) y b a b (1)表中数据m_. (2)气象部门预测三月中旬的平均气温约为 22 ，据此估计，该品牌的保暖衬衣在三 月中旬的销售量约为_件. 【导学号：95032242】 (1)40 (2)14 (1)由 38，得m40. y (2)由 ，得 58， a y b x a 故 2x58， y 当x22 时， 14， y 故三月中旬的销售量约为 14 件 三、解答题 5某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对 年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响对近 8 年的年宣传费xi和年销售量 yi(i1,2，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值 图 313 xyw 8 i1 (xi )2 x 8 i1 (wi )2 w 8 i1 (xi ) x (yi ) y 8 i1 (wi ) w (yi ) y 46.65636.8289.81.61 469108.8 表中wi，wwi. xi 1 8 8 i1 (1)根据散点图判断，yabx与ycd哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传 x 费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； (3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z0.2yx.根据(2)的结果回答下列问 题： 年宣传费x49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ 年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归直线vu的斜率 和截距的最小二乘估计分别为， . n i1 uiuviv n i1 uiu2 v u 解 (1)由散点图可以判断，ycd适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归 x 方程类型 (2)令w，先建立y关于w的线性回归方程 x 由于 68， d 8 i1 wiwyiy 8 i1 wiw2 108.8 1.6 563686.8100.6， c y d w 所以y关于w的线性回归方程为 100.668w， y 因此y关于x的回归方程为 100.668. y x (3)由(2)知，当x49 时， 年销售量y的预报值 100.668576.6， y 49 年利润z的预报值 576.60.24966.32. z 根据(2)的结果知，年利润z的预报值 0.2(100.668)xx13.620.12. z xx 所以当6.8，即x46.24 时， 取得最大值 x 13.6 2 z 故年宣传费为 46.24 千元时，年利润的预报值最大