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( (一一) )直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线(1)(1) 1(2018烟台模拟)已知椭圆C:1(ab0),点在椭圆上,过C的焦点且 x2 a2 y2 b2 (3, 3 2) 与长轴垂直的弦的长度为 . 1 3 (1)求椭圆C的标准方程; (2)过点A(2,0)作两条相交直线l1,l2,l1与椭圆交于P,Q两点(点P在点Q的上方), l2与椭圆交于M,N两点(点M在点N的上方),若直线l1的斜率为 ,SMAPSNAQ,求 1 7 25 34 直线l2的斜率 解 (1)由已知得Error! 解得a6,b1. 故椭圆C的标准方程为y21. x2 36 (2)由题设可知:直线l1的方程为x7y2. 联立Error! 整理得 85y228y320. yP,yQ . 8 17 4 5 . |AQ| |AP| |yQ| |yP| 4 5 8 17 17 10 设MAPQAN, SMAPSNAQ, 25 34 |AM|AP|sin |AN|AQ|sin , 1 2 25 34 1 2 即 . |AM| |AN| 25 34 |AQ| |AP| 25 34 17 10 5 4 设直线l2的方程为xmy2(m0), 将xmy2 代入y21, x2 36 得(m236)y24my320. 设M(x1,y1),N(x2,y2), 则y1y2,y1y2. 4m m236 32 m236 又y1y2, 5 4 y2y2,y, 5 4 4m m236 5 4 2 2 32 m236 y2,y, 16m m2362 2 128 5(m236) 2 , ( 16m m236) 128 5 m236 解得m24,m2,此时式的判别式大于零 故直线l2的斜率为 . 1 2 2(2018南昌模拟)已知椭圆C:1(ab0)的两焦点分别是F1,F2 x2 a2 y2 b2( 2,0) ,点E在椭圆C上 (2,0) ( 2,3 2 2 ) (1)求椭圆C的方程; (2)设P是y轴上的一点,若椭圆C上存在两点M,N,使得2,求以F1P为直径的圆 MP PN 面积的取值范围 解 (1)由已知,得半焦距c, 2 2a|EF1|EF2|4, 89 2 3 2 22 所以a2,所以b2a2c2826, 2 所以椭圆C的方程是1. x2 8 y2 6 (2)设点P的坐标为(0,t), 当直线MN斜率不存在时, 可得M,N分别是短轴的两端点, 得到t. 6 3 当直线MN斜率存在时, 设直线MN的方程为ykxt,M(x1,y1),N(x2,y2), 则由2得x12x2, MP PN 联立Error! 得(34k2)x28ktx4t2240, 由题意,得64k2t24(34k2)(4t224)0, 整理得t2 1 2) 焦点的距离为 . 5 8 (1)求抛物线C的方程; (2)若P是C上一动点,且P不在直线l:y2x9y0上,l交C于E,F两点,过P作直线 垂直于x轴且交l于点M,过P作l的垂线,垂足为N.证明:|EF|. |AM|2 |AN| (1)解 依题意得Error! , 1 8p p 2 5 8 p ,p1,故抛物线C的方程为x22y. 1 2 (2)证明 由(1)知,y0 ,联立Error! 1 8 得 4x216x90, 解得x1 ,x2 , 1 2 9 2 |EF|5. 122| 9 2( 1 2)|5 设P, (m, m2 2)(m 1 2且m 9 2) 则M的横坐标为m,易知A在l上, 则|AM|. 5|m 1 2| 由题意可知直线PN的方程为y (xm), m2 2 1 2 与y2x 联立可得xN, 9 8 1 5(m2m 9 4) 所以|AN| 5| 1 5(m2m 9 4) 1 2| , 5 5|(m 1 2)2| 则5,故|EF|. |AM|2 |AN|5 |AM|2 |AN| 4(2018甘肃省西北师范大学附属中学模拟)已知椭圆C:1(ab0),A,B是椭 x2 a2 y2 b2 圆与x轴的两个交点,M为椭圆C的上顶点,设直线MA的斜率为k1,直线MB的斜率为 k2,k1k2 . 2 3 (1)求椭圆C的离心率; (2)设直线l与x轴交于点D(,0),交椭圆于P,Q两点,且满足3,当OPQ的 3 DP QD 面积最大时,求椭圆C的方程 解 (1)M(0,b),A(a,0),B(a,0),k1 ,k2 , b a b a k1k2 ,e . b a b a b2 a2 2 3 c a 3 3 (2)由(1)知e , c a 3 3 得a23c2,b22c2, 可设椭圆C的方程为 2x23y26c2, 设直线l的方程为xmy, 3 由Error! 得(2m23)y24my66c20, 3 因为直线l与椭圆C相交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点, 所以48m24(2m23)(66c2)0, 由根与系数的关系得,y1y2,y1y2. 4 3m 2m23 66c2 2m23 又3,所以y13y2, DP QD 代入上述两式得 66c2, 36m2 2m23 所以SOPQ |OD|y1y2| 1 2 3 2| 8 3m 2m23| , 12|m| 2|m|23 12 2|m| 3 |m|6 当且仅当m2 时,等号成立,此时c2 , 3 2 5 2 代入,此时0 成立, 所以椭圆C的方程为1. 2x2 15 y2 5 5(2018天津市部分区模拟)已知椭圆C:1(ab0)的离心率为,椭圆的一个 x2 a2 y2 b2 2 2 顶点与两个焦点构成的三角形面积为 2. (1)求椭圆C的方程; (2)已知直线yk(x1)(k0)与椭圆C交于A,B两点,且与x轴,y轴交于M,N两点 ()若,求k的值; MB AN ()若点Q的坐标为,求证:为定值 ( 7 4,0) QA QB (1)解 因为1(ab0)满足a2b2c2, x2 a2 y2 b2 又离心率为,所以 , 2 2 c a 2 2 即a22c2,代入a2b2c2,得b2c2. 又椭圆C的顶点与其两个焦点构成的三角形的面积为 2, 即 b2c2,即bc2,b2c24, 1 2 以上各式联立解得a24,b22, 则椭圆C的方程为1. x2 4 y2 2 (2)()解 直线yk(x1)与x轴交点为M(1,0),与y轴交点为N(0,k), 联立Error!消去y得, (12k2)x24k2x2k240, 16k44(12k2)(2k24)24k2160, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1x2, 4k2 12k2 又(x21,y2),(x1,ky1), MB AN 由,得x1x21, MB AN 4k2 12k2 解得k,由k0,得k. 2 2 2 2 ()证明 由()知x1x2,x1x2, 4k2 12k2 2k24 12k2 所以 QA QB (x1 7 4,y1) (x2 7 4,y2) y1y2 (x1 7 4)(x2 7 4) k2(x11)(x21), (x1 7 4)(x2 7 4) (1k2)k2, 2k24 12k2 ( 7 4k2) 4k2 12k2 49 16 , 2k242k44k27k24k4k22k4 12k2 49 16 4,为定值, 8k24 12k2 49 16 49 16 15 16 所以为定值 QA QB
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