3.3.数数 列列 1在等差数列an中，a12，a1220. (1)求数列an的通项an； (2)若bn，求数列3bn的前n项和Sn. a1a2an n 解 (1)因为an2(n1)d，所以a12211d20，于是d2，所以 an2n4(nN N*) (2)因为an2n4，所以a1a2ann(n3)，于是 n 2 n6 2 bnn3，令cn3 n b ，则cn3n3， a1a2an n 显然数列cn是等比数列，且c132，公比q3， 所以数列3bn的前n项和Sn(nN N*) c1(1qn) 1q 3n1 18 2已知数列an满足a1 ，2(nN N*) 1 2 1 an1 1 an (1)求数列an的通项公式； (2)证明：aaaa0 且a1，nN N*) 2an a2n1 (1)证明：当n2 时，anb. ba2b1 a21b 证明 (1)由an1知，an与a1的符号相同， 2an a2n1 而a1a0，所以an0， 所以an11， 2 an 1 an 当且仅当an1 时，an11， 下面用数学归纳法证明： 因为a0 且a1，所以a21，即有a21，即ak1ak1akb； 若aka2 k1a2k1a2k1a2 . ( 2 1b2) ( 2 1b) (1 1b 1b) 1 1b 1bk1 因为k1， ba2b1 a21b 所以(k1)11， 1b 1b ba2 a2 b a2 所以ak1b. 6已知数列an满足a12，点(an，an1)在直线y3x2 上数列bn满足b12， . bn1 an1 1 a1 1 a2 1 an (1)求b2的值； (2)求证数列an1为等比数列，并求出数列an的通项公式； (3)求证：2， 1 an 1 3n1 1 3n 所以 33 ( 1 a1 1 a2 1 an) ( 1 a1 1 32 1 33 1 3n) 32. 1 2 1 9(1 1 3n1) 11 3 1 23n1 再证明不等式右边，当n2 时， ， 1 an 1 3n1 1 93n21 1 83n2 33 ( 1 a1 1 a2 1 an) 1 a1 1 8(1 1 3 1 3n2) 33. ( 1 2 1 8 1 1 3n1 11 3 ) 1 2 3 16(1 1 3n1) 33 16 所以 2成立 1 23n1 (1 1 b1)(1 1 b2) (1 1 bn) 33 16 综上所述，不等式成立