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2.3.42.3.4 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示 学习目标:1.理解用坐标表示两向量共线的条件(难点)2.能根据平面向量的坐标, 判断向量是否共线;并掌握三点共线的判断方法(重点)3.两直线平行与两向量共线的判 定(易混点) 自 主 预 习探 新 知 平面向量共线的坐标表示 (1)设a a(x1,y1),b b(x2,y2),其中b0b0,a a,b b共线,当且仅当存在实数,使 a ab b. (2)如果用坐标表示,可写为(x1,y1)(x2,y2),当且仅当x1y2x2y10 时,向量 a a,b b(b0b0)共线 基础自测 1思考辨析 (1)向量(1,2)与向量(4,8)共线( ) (2)向量(2,3)与向量(4,6)反向( ) (3)若a a(x1,y1),b b(x2,y2)且b b0,则.( ) x1 x2 y1 y2 解析 (1)正确因为(4,8)4(1,2),所以向量(1,2)与向量(4,8)共线 (2)正确因为(4,6)2(2,3),所以向量(2,3)与向量(4,6)反向 (3)错误当x2y20 时. x1 x2 y1 y2 答案 (1) (2) (3) 2下列各对向量中,共线的是( ) Aa a(2,3),b b(3,2) Ba a(2,3),b b(4,6) Ca a(,1),b b(1,) 22 Da a(1,),b b(,2) 22 D D A,B,C 中各对向量都不共线,D 中b ba a,两个向量共线 2 3已知a a(3,2),b b(6,y),且a ab b,则y_. 4 a ab b, ,解得y4. 6 3 y 2 合 作 探 究攻 重 难 判定直线平行、三点共线 (1)已知A,B,C三点共线,且A(3,6),B(5,2),若C点的横坐标为 6,则C点的纵坐标为( ) A13 B9 C9 D13 (2)已知A(1,1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量与平行吗?直线AB平行 AB CD 于直线CD吗? 思路探究 (1) 设C点的坐标 由AB AC 列方程 求坐标 (2) 判定向量AB 与CD 平行 两向量上的相关点不共线 (1 1)C C (1)设C(6,y), AB AC 又(8,8),(3,y6), AB AC 8(y6)380, y9. (2)解 (1(1),3(1)(2,4), AB (21,75)(1,2) CD 又 22410, . AB CD 又(2,6),(2,4), AC AB 24260, A,B,C不共线, AB与CD不重合, ABCD. 规律方法 向量共线的判定方法 提醒:向量共线的坐标表达式极易写错,如写成x1y1x2y20 或x1x2y1y20 都是 不对的,因此要理解并记熟这一公式,可简记为:纵横交错积相减 跟踪训练 1已知A(1,3),B,C(9,1),求证:A,B,C三点共线. (8, 1 2) 【导学号:84352230】 证明 ,(91,13)(8,4), AB (81, 1 23) (7, 7 2) AC 74 80, 7 2 ,且,有公共点A, AB AC AB AC A,B,C三点共线. 已知平面向量共线求参数 已知a a(1,21,2),b b(3,23,2),当k为何值时,ka ab b与a a3b3b平行?平行时 它们是同向还是反向? 【导学号:84352231】 思路探究 法一:可利用b b与非零向量a a共线等价于b ba a(0,b b与a a同向; 0,b b与a a反向)求解; 法二:可先利用坐标形式的等价条件求k,再利用b ba a判定同向还是反向 解 法一:(共线向量定理法)ka ab bk(1,2)(3,2)(k3,2k2), a a3b3b(1,2)3(3,2)(10,4), 当ka ab b与a a3b3b平行时,存在唯一实数, 使ka ab b(a a3b3b) 由(k3,2k2)(10,4), 所以Error! 解得k . 1 3 当k 时,ka ab b与a a3b3b平行,这时ka ab ba ab b (a a3b3b), 1 3 1 1 3 3 1 1 3 3 因为 0, 1 3 所以ka ab b与a a3b3b反向 法二:(坐标法)由题知ka ab b(k3,2k2), a a3b3b(10,4), 因为ka ab b与a a3b3b平行, 所以(k3)(4)10(2k2)0, 解得k . 1 3 这时ka ab b (a a3b3b), ( 1 33, 2 32) 1 3 所以当k 时,ka ab b与a a3b3b平行,并且反向 1 3 规律方法 利用向量平行的条件处理求值问题的思路: (1)利用共线向量定理a ab b(b b0)列方程组求解 (2)利用向量平行的坐标表达式x1y2x2y10 直接求解 跟踪训练 2已知a a(1,1),b b(x2,x)且a ab b,则实数的最小值是_ 因为a ab b,所以x2x0, 1 4 即x2x 2 , (x 1 2) 1 4 1 4 所以的最小值为 . 1 4 向量共线的综合应用 (1)已知向量a a(cos ,2),b b(sin ,1),且a ab b,则 2sin cos 等于( ) A3 B3 C D 4 5 4 5 (2)如图 2318 所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC与OB的交点P的坐 标. 【导学号:84352232】 图 2318 思路探究 (1)先由a ab b推出 sin 与 cos 的关系,求 tan ,再用“1”的 代换求 2sin cos . (2)要求点P的坐标,只需求出向量的坐标,由与共线得到,利用与 OP OP OB OP OB AP 共线的坐标表示求出即可;也可设P(x,y),由及,列出关于x,y的 AC OP OB AP AC 方程组求解 (1 1)C C (1)因为a ab b,所以 cos 1(2)sin 0 即 cos 2sin ,tan , 1 2 所以 2sin cos 2sin cos sin2cos2 2tan tan21 . 2 ( 1 2) ( 1 2)21 4 5 (2)法一:(定理法)由O,P,B三点共线,可设(4,4),则 OP OB (44,4),(2,6) AP OP OA AC OC OA 由与共线得(44)64(2)0,解得 ,所以(3,3), AP AC 3 4 OP 3 4OB 所以P点的坐标为(3,3) 法二:(坐标法)设P(x,y),则(x,y),因为(4,4),且与共线,所以 OP OB OP OB ,即xy. x 4 y 4 又(x4,y),(2,6),且与共线,则得(x4)6y(2)0,解 AP AC AP AC 得xy3,所以P点的坐标为(3,3) 规律方法 向量共线的坐标表示的应用 1已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识,可以证明 三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行. 2已知两个向量共线,求点或向量的坐标,求参数的值,求轨迹方程.要注意方程 思想的应用,向量共线的条件,向量相等的条件等都可作为列方程的依据. 跟踪训练 3如图 2319,已知A(4,5),B(1,2),C(12,1),D(11,6),求AC与BD的交点P的 坐标 图 2319 解 设(111,62)(10,4) BP BD 易得(11,1), CB (1011,41) CP CB BP 又(8,4),而与共线, CA CP CA 4(1011)8(41)0, 解得 . 1 2 设点P的坐标为(xP,yP), (5,2)(xP1,yP2), BP Error! 即Error! 故点P的坐标为(6,4). 共线向量与线段分点点坐标的计算 探究问题 1设P1,P2的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),如何求线段P1P2的中点P的坐标? 提示:如图所示,P为P1P2的中点, , P1P PP2 , OP OP1 OP2 OP () OP 1 2 OP1 OP2 , ( x1x2 2 ,y1y2 2 ) 线段P1P2的中点坐标是. ( x1x2 2 ,y1y2 2 ) 2设P1,P2的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),点P是线段P1P2的一个三等分点,则 P点坐标是什么? 提示:点P是线段P1P2的一个三等分点,分两种情况: 当时, () P1P 1 3P1P2 OP OP1 P1P OP1 1 3P1P2 OP1 1 3 OP2 OP1 2 3OP1 1 3OP2 ; ( 2x1x2 3 ,2y1y2 3 ) 当时, P1P 2 3P1P2 OP OP1 P1P OP1 2 3P1P2 () OP1 2 3 OP2 OP1 1 3OP1 2 3OP2 . ( x12x2 3 ,y12y2 3 ) 3当时,点P的坐标是什么? P1P PP2 提示:(), OP OP1 P1P OP1 PP2 OP1 OP2 OP OP1 OP2 OP OP OP1 OP2 1 (x1,y1)(x2,y2) 1 1 1 ( 1 1x1, 1 1y1) ( 1x2, 1y2) , ( x1x2 1 ,y1y2 1 ) P. ( x1x2 1 ,y1y2 1 ) 已知点A(3,4)与点B(1,2),点P在直线AB上,且|2|,求点 AP PB P的坐标. 【导学号:84352233】 思路探究 点P在直线AB上,包括点P在线段AB内和在线段AB的延长线上,因此 应分类讨论 解 设P点坐标为(x,y), |2|. AP PB 当P在线段AB上时,2, AP PB (x3,y4)2(1x,2y), Error!解得Error! P点坐标为. ( 1 3,0) 当P在线段AB延长线上时,2, AP PB (x3,y4)
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