3.3.23.3.2 函数的极值与导数函数的极值与导数 学习目标：1.了解极值的概念、理解极值与导数的关系(难点)2.掌握利用导数求函 数极值的步骤，能熟练地求函数的极值(重点)3.会根据函数的极值求参数的值(难点) 自 主 预 习探 新 知 1极小值点与极小值 若函数f(x)满足： (1)在xa附近其他点的函数值f(x)f(a)； (2)f(a)0； (3)在xa附近的左侧f(x)0，则点a叫做函数 yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值 2极大值点与极大值 若函数f(x)满足： (1)在xb附近其他点的函数值f(x)f(b)； (2)f(b)0； (3)在xb附近的左侧f(x)0，在xb附近的右侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值 基础自测 1思考辨析 (1)导数值为 0 的点一定是函数的极值点( ) (2)函数的极大值一定大于极小值( ) (3)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合( ) (4)函数f(x) 有极值( ) 1 x 答案 (1) (2) (3) (4) 2函数yx31 的极大值是( ) A1 B0 C2 D不存在 D D y3x20，则函数yx31 在 R R 上是增函数，不存在极大值 3若x2 与x4 是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点则有( ) 【导学号：97792153】 Aa2，b4 Ba3，b24 Ca1，b3 Da2，b4 B B f(x)3x22axb，依题意有x2 和x4 是方程 3x22axb0 的两个 根，所以有24， 24，解得a3，b24. 2a 3 b 3 合 作 探 究攻 重 难 求函数的极值 (1)已知函数f(x)ax3bx2c，其导函数f(x)的图象如图 338 所示， 则函数f(x)的极小值是( ) 图 338 Aabc B3a4bc C3a2b Dc (2)求下列函数的极值： f(x)x3x23x3； 1 3 f(x)2. 2x x21 解析 (1)由f(x)的图象知，当x0，当x2 时，f(x)0，解得a0； 当x(1，)时，f(x)或x0； 22 当0，x4 时， y取到极小值131，x4 时，y取到极大值 125. 4已知函数f(x)x33ax23(a2)x1 既有极大值又有极小值，则实数a的取值 范围是_ (，1)(2，) f(x)3x26ax3(a2)， 函数f(x)既有极大值又有极小值， 方程f(x)0 有两个不相等的实根 36a236(a2)0. 即a2a20，解之得a2 或a1. 5已知函数f(x)ax2bln x在x1 处有极值 . 1 2 (1)求a，b的值 (2)判断函数f(x)的单调区间，并求极值. 【导学号：97792155】 解 (1)因为f(x)ax2bln x， 所以f(x)2ax . b x 又函数f(x)在x1 处有极值 . 1 2 故Error!即Error! 解得a ，b1. 1 2 (2)由(1)可知f(x)x2ln x. 1 2 其定义域为(0，) 且f(x)x . 1 x x1x1 x 令f(x)0，则x1(舍去)或x1. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表： x(0,1)1 (1，) f(x) 0 f(x) 极小值 所以函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，)，且函数在定义域 上只有极小值f(1) ，无极大值 1 2