第二章2.12.1.2 A级基础巩固一、选择题1异面直线是指(D)A空间中两条不相交的直线B分别位于两个不同平面内的两条直线C平面内的一条直线与平面外的一条直线D不同在任何一个平面内的两条直线解析对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面A应排除对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可异面，如右图，就是相交的情况，B应排除对于C，如右图的a，b可看作是平面内的一条直线a与平面外的一条直线b，显然它们是相交直线，C应排除只有D符合定义应选D2正方体ABCDA1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有(C)A3条B4条C6条D8条解析与AC1异面的棱有：A1D1，A1B1，DD1，CD，BC，BB1共6条3若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则(D)Aac Ba、c是异面直线Ca、c相交 Da、c平行或相交或异面解析例如在正方体ABCDA1B1C1D1中，取AB，CD所在直线分别为a，c，B1C1所在直线为b，满足条件要求，此时ac；又取AB，BC所在直线分别为a，c，DD1，所在直线为b，也满足题设要求，此时a与c相交；又取AB，CC1所在直线分别为a，c，A1D1所在直线为b，则此时，a与c异面故选D4过直线l外两点可以作l的平行线条数为(D)A1条 B2条 C3条 D0条或1条解析以如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1为例令A1B1所在直线为直线l，过l外的两点A、B可以作一条直线与l平行，过l外的两点B、C不能作直线与l平行，故选D5空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD2AB，EFAB，则EF与CD所成的角为(A)A30 B45C60 D90解析取AD的中点H，连FH、EH，在EFH中 EFH90HE2HF，从而FEH30故选A6下列命题中，正确的结论有(B)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行A1个 B2个C3个 D4个解析是正确的二、填空题7已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，若，则四边形EFGH形状为_梯形_.解析如右图在ABD中，EHBD且EHBD在BCD中，FGBD且FGBD，EHFG且EHFG四边形EFGH为梯形8已知棱长为a的正方体ABCDABCD中，M、N分别为CD、AD的中点，则MN与AC的位置关系是_平行_.解析如图所示，MN綊AC又AC綊ACMN綊AC三、解答题9在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点求证：NMPBA1D解析如图，连接CB1、CD1，CD綊A1B1四边形A1B1CD是平行四边形A1DB1CM、N分别是CC1、B1C1的中点MNB1C，MNA1DBC綊A1D1，四边形A1BCD1是平行四边形A1BCD1M、P分别是CC1、C1D1的中点，MPCD1MPA1BNMP和BA1D的两边分别平行且方向都相反NMPBA1DB级素养提升一、选择题1若直线a、b分别与直线l相交且所成的角相等，则a、b的位置关系是(D)A异面 B平行C相交 D三种关系都有可能解析以正方体ABCDA1B1C1D1为例A1B1、AB所在直线与BB1所在直线相交且所成的角相等，A1B1AB；A1B1、BC所在直线与BB1所在直线相交且所成的角相等，A1B1与BC是异面直线；AB、BC所在直线与AC所在直线相交且所成的角相等，AB与BC相交，故选D2空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是(D)A梯形 B矩形C平行四边形 D正方形解析E、F、G、H分别为中点，如图FG綊EH綊BDHG綊EF綊AC又BDAC且BDACFGHG且FGHG，四边形EFGH为正方形3点E、F分别是三棱锥PABC的棱AP、BC的中点，AB6，PC8，EF5，则异面直线AB与PC所成的角为(D)A60 B45 C30 D90解析如图，取PB的中点G，连结EG、FG，则EG綊AB，GF綊PC，则EGF(或其补角)即为AB与PC所成的角，在EFG中，EGAB3，FGPC4，EF5，所以EGF904如图所示，空间四边形ABCD的对角线AC8，BD6，M、N分别为AB、CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90，则MN等于(A)A5 B6C8 D10解析如图，取AD的中点P，连接PM、PN，则BDPM，ACPN，MPN即异面直线AC与BD所成的角，MPN90，PNAC4，PMBD3，MN5二、填空题5如图正方体ABCDA1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成的角为90的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有_1_条.解析与AD1异面的面对角线分别为：A1C1、B1C、BD、BA1、C1D，其中只有B1C和AD1所成的角为906一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：ABCM；EF与MN是异面直线；MNCD以上结论中正确结论的序号为_解析把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，EF与MN是异面直线，ABCM，MNCD，只有正确C级能力拔高1已知空间四边形ABCD中，ABAC，BDBC，AE是ABC的边BC上的高，DF是BCD的边BC上的中线，求证：AE与DF是异面直线.解析由已知，得E、F不重合设BCD所在平面为则DF，A，E，EDFAE与DF异面2梯形ABCD中，ABCD，E、F分别为BC和AD的中点，将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到CD的位置，G、H分别为AD和BC的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形.解析梯形ABCD中，ABCDE、F分别为BC、AD的中点EFAB且EF(ABCD)又CDEF，EFAB，CDABG、H分别为AD、BC的中点GHAB且GH(ABCD)(ABCD)GH綊EF，四边形EFGH为平行四边形