3.2 复数代数形式的四则运算复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义 课时过关能力提升 基础巩固基础巩固 1(6-2i)-(3i+1)等于( ) A.3-3iB.5-5iC.7+iD.5+5i 解析(6-2i)-(3i+1)=(6-1)+(-2-3)i=5-5i,故选 B. 答案 B 2 如图,在复平面内,复数 z1,z2对应的向量分别是,则|1 + 2| = ( ) A.2B.3 C.2 2.3 3 解析 z1=-2-i,z2=i,z1+z2=-2.故选 A. 答案 A 3 若 z1=2+i,z2=3+ai(aR),且 z1+z2所对应的点在实轴上,则 a 的值为( ) A.3B.2C.1D.-1 解析 z1+z2=2+i+3+ai=(2+3)+(1+a)i=5+(1+a)i. z1+z2所对应的点在实轴上, 1+a=0.a=-1. 答案 D 4 已知 z1=3-4i,z2=-5+2i,z1,z2对应的点分别为 P1,P2,则21对应的复数为( ) A.-8+6iB.8-6i C.8+6iD.-2-2i 解析由复数减法的几何意义,z1-z2=(3-4i)-(-5+2i)=(3+5)+(-4-2)i=8-6i,故选 B. 知 21对应的复数为 答案 B 5 若 P,A,B,C 四点分别对应复数 z,z1,z2,z3,且|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则点 P 为ABC 的( ) A.内心B.外心C.重心D.垂心 解析由|z-z0|的几何意义可知,动点 P 到三角形三顶点的距离相等,故 P 为ABC 的外心. 答案 B 6 如图,在平行四边形 OABC 中,各顶点对应的复数分别为 zO=0,zA=2R,则 a-b 的 + 2, = 2 + 3, = + , 值为 . 解析由复数加法的几何意义,知 = + , -2a+3i =(2 + 2) + ( + ) = (2 ) + 3 2. 根据复数相等的充要条件, 得 - 2 = 2 - , 3 = 3 2 . ? 解得 = 2, = 6. ? = 4. 答案-4 7 已知 z1=m2-3m+m2i,z2=4+(5m+6)i(mR),若 z1-z2=0,则 m= . 解析z1-z2=(m2-3m+m2i)-4+(5m+6)i=(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i=0, 2 - 3 - 4 = 0, 2- 5 - 6 = 0, ? = 1. 答案-1 8 已知 z 是复数,|z|=3,且 z+3i 是纯虚数,则 z= . 解析设 z=a+bi(a,bR), 则 a+bi+3i=a+(b+3)i 是纯虚数,a=0,b+30. 又|z|=3,b=3,z=3i. 答案 3i 9 若|z-1|=1,试说明复数 z 对应点的轨迹. 分析解答本题可根据复数的减法和模的几何意义求解. 解根据复数的减法和模的几何意义,知|z-1|=1 表示复数 z 对应的点到点(1,0)的距离为 1, 故复数 z 对应点的轨迹是以点(1,0)为圆心,以 1 为半径的圆. 10 已知复平面内的点 A,B 对应的复数分别是 z1=sin2+i,z2=-cos2+icos 2,其中 (0,),设对应的复数是. (1)求复数 z; (2)若复数 z 对应的点 P 在直线 y = 1 2上,求的值. 解(1)点 A,B 对应的复数分别是 z1=sin2+i,z2=-cos2+icos 2, 点 A,B 的坐标分别是 A(sin2,1),B(-cos2,cos 2), 2)-(sin2,1)=(-cos2-sin2,cos 2-1)=(-1,-2sin2). = ( 2, z=-1+(-2sin2)i. 对应的复数 (2)由(1)知点 P 的坐标是(-1,-2sin2),代入 y-2sin2=sin2= = 1 2 ,得 1 2 ,即 = 1 4, 1 2. 又 (0,),sin = 1 2, = 6或 5 6 . 能力提升能力提升 1 若|z-1|=|z+1|,则复数 z 对应的点在( ) A.实轴上B.虚轴上 C.第一象限D.第二象限 解析|z-1|=|z+1|, 点 Z 到(1,0)和(-1,0)的距离相等, 点 Z 在以(1,0)和(-1,0)为端点的线段的垂直平分线上,即在虚轴上. 答案 B 2 已知 z=cos 4 + 4,为虚数单位,则平面内到点(1,2)的距离等于|的点的轨迹是( ) A.以点(0,0)为圆心,1 为半径的圆 B.以点 C 为圆心,1 为半径的圆 C.满足方程 x2+y2=1 的曲线 D.满足(x-1)2+(y-2)2 = 1 2的曲线 解析|z| =2 4 + 2 4 = 1, 平面内到点 C(1,2)的距离等于|z|的点的轨迹方程为(x-1)2+(y-2)2=1,表示以点 C 为圆心,1 为半径的圆. 答案 B 3 若复数 z=x+yi(x,yR)满足条件|z-4i|=|z+2|,则 2x+4y的最小值为( ) A.2B.4C.4 2.16 解析由|z-4i|=|z+2|,得|x+(y-4)i|=|x+2+yi|, x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,即 x+2y=3, 2x+4y=2x+22y2 2 + 2= 223= 4 2, 当且仅当 x=2y,2x+4y取得最小 = 3 2时值4 2. 答案 C 4 设实数 x,y, 满足以下关系:x+yi=(3+5cos )+(-4+5sin )i,则 x2+y2的最大值是 . 解析x+yi=(3+5cos )+(-4+5sin )i, x2+y2=(3+5cos )2+(-4+5sin )2 =50+30cos -40sin =50+50cos(+), 其中 sin = 4 5, = 3 5. (x2+y2)max=50+50=100. 答案 100 5 若对 n 个复数 a1,a2,an,存在 n 个不全为零的实数 k1,k2,kn,使得 k1a1+k2a2+knan=0 成立,则称 a1,a2,an 为线性相关.依此规定,能使 a1=1,a2=1-i,a3=2+2i 三个复数线性相关的实数 k1,k2,k3的值依次可取 .(写出 一组数值即可,不必考虑所有情况) 解析本题主要考查新信息背景下的复数的加法运算和两个复数相等的条件的应用,在新定义下,k1a1+k2a2+k3a3=0,即 k1+k2(1-i)+k3(2+2i)=0,即(k1+k2+2k3)+(-k2+2k3)i=0,故-k2+2k3=0,则 k2=2k3. 又实部之和为 k1+k2+2k3=0, k1=-k2-2k3=-4k3,k1=-4k3,k2=2k3, 令 k3取任意一个非零值就可以得到一组值. 答案-4,2,1(答案不唯一) 6 已知|z|=2,则|z+3-4i|的最大值是 . 解析由|z|=2 知复数 z 对应的点在圆 x2+y2=4 上,圆心为 O(0,0),半径 r=2. 而|z+3-4i|=|z-(-3+4i)|表示复数 z 对应的点与 M(-3,4)之间的距离,由于|OM|=5, 所以|z+3-4i|的最大值为|OM|+r=5+2=7. 答案 7 7 已知复数 z1=1-2i 和 z2=4+3i 分别对应复平面内的 A,B 两点.求: (1)A,B 两点间的距离; (2)线段 AB 的垂直平分线方程的复数形式,并化为实数表示的一般形式. 解(1)因为|z2-z1|=|(4+3i)-(1-2i)|=|3+5i|A,B 两点间的距离 =34,所以为 34. (2)线段 AB 的垂直平分线上任一点 Z 到 A,B 两点的距离相等, 设点 Z 对应的复数为 z,由复数模的几何意义,知|z-(1-2i)|=|z-(4+3i)|. 设 z=x+yi(x,yR),代入上式,得 |(x-1)+(y+2)i|=|(x-4)+(y-3)i|, 即(x-1)2+(y+2)2=(x-4)2+(y-3)2. 整理上式可得线段 AB 的垂直平分线的方程为 3x+5y-10=0. 所以线段 AB 的垂直平分线方程的复数形式为|z-(1-2i)|=|z-(4+3i)|,实数表示的一般形式为 3x+5y-10=0. 8 在ABC 中,角 A,B,C 所对的边的长度分别为 a,b,c,设复数 z=cos A+isin A,且满足|z+1|=1. (1)求复数 z; (2)求 - (60 + ) 的值. 分析第(1)问,把复数 z+1 的模转化为它对应的复数的模,从而求出角 A,进而求出复数 z;第(2)问,利用正弦定理把边转 化为角,再进行三角恒等变换即可求解. 解(1)z=cos A+isin A, z+1=1+cos A+isin A. |z+1|= (1 + )2+ 2 = 2 + 2. |z+1|=1,2+2cos A=1. cos A= 1 2. 角 A 是ABC 的一个内角,A=120. sin A = 3 2 . 复数 z= 1 2 + 3 2 . (2)由正弦定理,得 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(其中 R 为ABC 外接圆的半径), 原 式 = - (60 + ). B=180-A-C=60-C, 原 式 = (60 - ) - 120(60 + ) = 3 2 - 3 2 3 2(60 + ) = - 3 (60 + ) = 2(60 + ) (60 + ) = 2, 2. 即 - (60 + )的值为