第二章检测(B) (时间:90 分钟 满分:120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1 过点(0,1)且与抛物线 y2=x 只有一个公共点的直线有( ) A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条 解析:过(0,1)且与抛物线只有一个公共点的直线有 2 条切线和一条交线(y=1). 答案:C 2 双曲线的焦点在 y 轴上,且它的一个焦点在直线 5x-2y+20=0 上,两焦点关于 x 轴对称,则该 = 5 3 双曲线的方程是( ) A.=1B.=1 2 36 2 64 2 64 2 36 C.=-1D.=-1 2 36 2 64 2 64 2 36 解析:两焦点关于 x 轴对称,焦点在 y 轴,又焦点在直线 5x+2y+20=0 上, 当 x=0 时,y=-10.c=10. ,a2=36,b2=64. = 5 3 答案:D 3 已知双曲线=1 的一条渐近线方程为 y= x,则该双曲线的离心率为( ) 2 2 2 2 4 3 A.B.C.D. 5 3 4 3 5 4 3 2 解析:本题已知,不能直接求出 a,c,可用整体代入变用公式. = 4 3 由 e=(其中 k 为渐近线的斜率).这里,则 e= = 2+ 2 = 2+ 2 2 =1 + 2 2 = 1 + 2 = 4 3 ,故选 A. =1 +(4 3) 2 = 5 3 答案:A 4 已知椭圆 E:=1(ab0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交 E 于 A,B 两点.若 AB 的中点 2 2 + 2 2 坐标为(1,-1),则该椭圆的方程为( ) A.=1B.=1 2 45 + 2 36 2 36 + 2 27 C.=1D.=1 2 27 + 2 18 2 18 + 2 9 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),A,B 在椭圆上, 2 1 2 + 2 1 2 = 1, 2 2 2 + 2 2 2 = 1. ? -,得 =0, ( 1+ 2 )( 1 - 2) 2 + ( 1+ 2 )( 1 - 2) 2 即 =-. 2 2 ( 1+ 2 )( 1 - 2) ( 1+ 2 )( 1 - 2) AB 的中点为(1,-1), y1+y2=-2,x1+x2=2. 而=kAB=,. 1 - 2 1 - 2 0 - ( - 1) 3 - 1 = 1 2 2 2 = 1 2 又a2-b2=9,a2=18,b2=9. 椭圆 E 的方程为=1.故选 D. 2 18 + 2 9 答案:D 5 已知点 F,A 分别为双曲线 C:=1(a0,b0)的左焦点、右顶点,点 B(0,b)满足=0,则双 2 2 2 2 曲线的离心率为( ) A.B.C.D. 23 1 + 3 2 1 + 5 2 解析:=0,FBAB,b2=ac. 又b2=c2-a2,c2-a2-ac=0. 两边同除以 a2,得 e2-1-e=0, e=. 1 + 5 2 答案:D 6 一根竹竿长为 2 m,竖直放在广场的水平地面上,在 t1时刻测得它的影长为 4 m,在 t2时刻的影长 为 1 m.这个广场上有一个球形物体,它在地面上的影子是椭圆,则在 t1,t2这两个时刻该球形物体在地 面上的两个椭圆影子的离心率之比为( ) A.11B.1C.1D.21 23 解析:根据题意,球形物体高度一定,可设为 h,则 t1时刻影子椭圆的长轴长 2a=2h,短轴长 2b=h, 则 c2=a2-b2=h2-h2, 2 4 = 3 4 故 e1=. = 3 2 = 3 2 t2时刻影子椭圆的长轴长为 2a=h,短轴长 2b= , 2 则 c2=a2-b2=h2, 2 4 2 16 = 3 16 即 e2=. = 3 2 故 e1e2=11. 答案:A 7 如图,F1,F2是椭圆 C1: +y2=1 与双曲线 C2的公共焦点,A,B 分别是 C1,C2在第二、四象限的公 2 4 共点.若四边形 AF1BF2为矩形,则双曲线 C2的离心率是( ) A.B.C.D. 23 3 2 6 2 解析:在椭圆 C1中,|AF1|+|AF2|=4,|F1F2|=2. 3 又因为四边形 AF1BF2为矩形, 所以F1AF2=90. 所以|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2, 所以|AF1|=2-,|AF2|=2+. 22 所以在双曲线 C2中,2c=2,2a=|AF2|-|AF1|=2, 32 故 e=,故选 D. = 3 2 = 6 2 答案:D 8 已知椭圆 E:=1(ab0)的右焦点为 F,短轴的一个端点为 M,直线 l:3x-4y=0 交椭圆 E 于 2 2 + 2 2 A,B 两点.若|AF|+|BF|=4,点 M 到直线 l 的距离不小于 ,则椭圆 E 的离心率的取值范围是( ) 4 5 A.B.C.D. ( 0, 3 2 ( 0, 3 4 3 2 ,1 ) 3 4 ,1 ) 答案:A 9 如图,南北方向的公路 l,A 地在公路的正东 2 千米处,B 地在 A 地北偏东 60方向 2千米处,河 3 流沿岸 PQ(曲线)上任一点到公路 l 和到 A 地的距离相等.现要在曲线 PQ 上选一处 M 建一座码头, 向 A,B 两地转运货物,经测算从 M 到 A,从 M 到 B 修建公路的费用均为 a 万元/千米,则修建这两条公 路的总费用最低是( ) A.(2+)a 万元B.(2+1)a 万元 33 C.5a 万元D.6a 万元 解析:分别过点 M,B,A 作直线 MMl,BBl,AA1l,垂足分别为 M,B,A1,过点 B 作 BB1AA1,垂足为 B1. 由已知,得|AB1|=|AB|cos 30=2=3. 3 3 2 |AA1|=2,|BB|=3+2=5. 又|AM|=|MM|, 修路费用为(|AM|+|MB|)a=(|MM|+|MB|)a|BB|a=5a(万元). 答案:C 10 设抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为直径的圆过点(0,2),则抛 物线 C 的方程为( ) A.y2=4x 或 y2=8xB.y2=2x 或 y2=8x C.y2=4x 或 y2=16xD.y2=2x 或 y2=16x 解析:设点 M 的坐标为(x0,y0), 由抛物线的定义,得|MF|=x0+ =5, 2 则 x0=5- .又因为点 F 的坐标为, 2 ( 2 ,0 ) 所以以 MF 为直径的圆的方程为 (x-x0)+(y-y0)y=0. ( - 2) 将 x=0,y=2 代入,得 px0+8-4y0=0, 即 -4y0+8=0,则 y0=4. 2 0 2 由=2px0,得 16=2p,解得 p=2 或 p=8.故 C 的方程为 y2=4x 或 y2=16x.故选 C. 2 0 ( 5 - 2) 答案:C 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上) 11 抛物线 y2=4x 的弦 ABx 轴,若|AB|=4,则焦点 F 到直线 AB 的距离为 . 3 解析:由抛物线方程知 F(1,0),由|AB|=4,且 ABx 轴,得=(2)2=12.则 xA=3,故点 F 到直线 3 2 3 2 4 x=3 的距离为 2. 答案:2 12 椭圆:=1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c.若直线 y=(x+c)与椭圆 2 2 + 2 23 的一个交点 M 满足MF1F2=2MF2F1,则该椭圆的离心率等于 . 解析:由直线 y=(x+c),知其倾斜角为 60. 3 由题意知MF1F2=60, 则MF2F1=30,F1MF2=90. 故|MF1|=c,|MF2|=c. 3 由|MF1|+|MF2|=2a,得(+1)c=2a, 3 即 e=-1. 2 3 + 1 =3 答案:-1 3 13O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,P 为 C 上的一点,若|PF|=4,则POF 的面积为 . 22 解析:抛物线的焦点 F(,0),准线方程 x=-. 22 |PF|=4, 2 |PF|=4=xP+,即 xP=3, 222 =43=24,即|yP|=2. 2 22246 故POF 的面积为2=2. 1 2 2 63 答案:2 3 14 已知抛物线 y2=8x 的准线过双曲线=1(a0,b0)的一个焦点,且双曲线的离心率为 2,则该 2 2 2 2 双曲线的方程为 . 解析:抛物线 y2=8x 的准线方程为 x=-2,则双曲线=1(a0,b0)的左焦点为(-2,0),即 a2+b2=4. 2 2 2 2 由 e= =2,易求得 a2=1,b2=3, 则该双曲线的方程为 x2- =1. 2 3 答案:x2- =1 2 3 15 方程=1 表示曲线 C,给出以下命题: 2 4 - + 2 - 1 曲线 C 不可能为圆;若曲线 C 为椭圆,则 14;若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆,则 1 0, 4 - 0, 4 - - 1, ? 即 14 或 tb0)上的一点,F1,F2是其左、右焦点.已知F1PF2=60,求椭圆 2 2 + 2 2 离心率的取值范围. 解:根据椭圆的定义,知|PF1|+|PF2|=2a. 在F1PF2中,由余弦定理,得 cos 60=, | 1| 2+ | 2| 2 - | 12| 2 2|1 | 2| = 1 2 即|PF1|2+|PF2|2-4c2=|PF1|PF2|. 式平方,得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|PF2|=4a2. 由,得|PF1|PF2|=. 42 3 由和运用基本不等式,得 |PF1|PF2|,即a2. ( | 1| + |2| 2 ) 242 3 由 b2=a2-c2,得 (a2-c2)a2, 4 3 解得 e=. 1 2 e 0, - 2 1 - 2 0 ? 2 即 k 的取值范围是k|-2+. 2 即 b 的取值范围是b|b2+. 2 19(10 分)设 F1,F2分别是椭圆 E:=1(ab0)的左、右焦点,过 F1且斜率为 1 的直线 l 与 E 2 2 + 2 2 相交于 A,B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (1)求椭圆 E 的离心率; (2)设点 P(0,-1)满足|PA|=|PB|,求椭圆 E 的方程. 解:(1)由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a, 又 2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|= a. 4 3 直线 l 的方程为 y=x+c,其中 c=. 2 - 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 A,B 两点坐标满足方程组 =