? 03 ? ? 第三章 数系的扩充与复数的引入 ? 3.1 数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念 课时过关能力提升 基础巩固基础巩固 1 有下列四个命题: 方程 2x-5=0 在自然数集 N 中无解; 方程 2x2+9x-5=0 在整数集 Z 中有一解,在有理数集 Q 中有两解; x=i 是方程 x2+1=0 在复数集 C 中的一个解; x4=1 在 R 中有两解,在复数集 C 中也有两解. 其中正确命题的个数是( ) A.1B.2C.3D.4 解析方程的解为 xN,故正确; = 5 2 方程的解为 x1Q,x2=-5ZQ,故正确; = 1 2 由 i2=-1,知 x=i 是方程 x2+1=0 在复数集 C 中的一个解,故正确; x4=1 在复数集 C 中的解的个数为 4,故不正确. 答案 C 2 在 2 +7,2 7,8 + 5,(1 3),0.618这几个数中,纯虚数的个数为( ) A.0B.1C.2D.3 解析因为 2,8+5i 为虚数,(1,0.618 为实数,所以纯虚数只有 2 +7为实数,2 7为纯虚数3)为纯虚数 个. 答案 C 3 若(x+y)i=x-1(x,yR),则 2x+y的值为( ) A. 1 2.2.0.1 解析由复数相等的充要条件x+y=0. 知, + = 0, - 1 = 0, ? 解得 = 1, = - 1, ? 则 故 2x+y=20=1. 答案 D 4 若 z=(m2-1)+(m-1)i(mR)是纯虚数,则有( ) A.m=1B.m=-1 C.m=1D.m1 解析z 是纯虚数, 2 - 1 = 0, - 1 0, ? 解得 = 1, 1. ? m=-1.故选 B. 答案 B 5 已知(3x+y)+(2x-y)i=(7x-5y)+3i,其中 x,yR,则 x= ,y= . 解析x,yR,根据两个复数相等的充要条件, 可 得3 + = 7 - 5, 2 - = 3, ? 解得 = 9 4, = 3 2. ? 答案 9 4 3 2 6 若 4-3a-a2i=a2+4ai,则实数 a= . 解析由题意,a=-4. 得4 - 3 = 2, - 2 = 4, ? 解得 答案-4 7 设 z=(m2-5m-6)+(m2-2m-3)i(mR),当 m= 时,z 为实数;当 m= 时,z 为纯虚 数. 解析当 z 为实数时, 由 m2-2m-3=0,得 m=3 或 m=-1. 当 z 为纯虚数时,m=6. 由 2 - 5 - 6 = 0, 2- 2 - 3 0, ? 得 答案 3 或-1 6 8 已知 x2-y2+2xyi=2i,则有序实数对(x,y)= . 解析由复数相等,得 2 - 2 = 0, = 1, ? 解得 = 1, = 1 ? 或 = - 1, = - 1. ? 答案(1,1)或(-1,-1) 9 若不等式 m2-(m2-3m)i 0. ? = 4或 = - 1, 3,且 2. ? m = 1. 答案-1 6 已知复数 z1=m+(4+m)i(mR),z2=2cos +(+3cos )i(R),若 z1=z2,则 的取值范围是 . 解析z1=z2,. = 2, 4 + = + 3. ? = 4 又-1cos 1,34-cos 5.3,5. 答案3,5 7 已知实数 a,x,y 满足 a2+2a+2xy+(a+x-y)i=0,则点(x,y)的轨迹方程是 . 解析由复数相等的充要条件a,得 x2+y2-2x+2y=0,即(x-1)2+(y+1)2=2. 知, 2 + 2 + 2 = 0, + - = 0, ? 消去 答案(x-1)2+(y+1)2=2 8 定义运算| | = ad bc,如果(x + y) + (x + 3) =|3 + 2 - 1|,求实数x,y的值. 解由定义运(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi. 算| | = ad bc,得|3 + 2 - 1| = 3x + 2y + y,故有 因为 x,y 为实数, 所以有 + = 3 + 2, + 3 = , ? 得 = - 1, = 2. ? 9 已知关于 x,y 的方程组 (2 - 1) + = - (3 - ), (2 + ) - (4 - + ) = 9 - 8 ? 有实数解,求实数 a,b 的值. 分析由复数相等的定义转化为实数方程组求解. 解由, 得 2 - 1 = , 1 = - (3 - ), ? 解得 = 5 2, = 4. ? 代入,得(5+4a)-(10-4+b)i=9-8i, 则5 + 4 = 9, 6 + = 8. ? 故 = 1, = 2. ?