考点规范练12导数的概念及运算考点规范练第14页基础巩固组1.设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x答案D解析f(x)=x3+(a-1)x2+ax,且f(x)是奇函数,a-1=0,解得a=1.f(x)=x3+x,则f(x)=3x2+1,f(0)=1.即y-0=x-0,故切线方程为y=x,故选D.2.设f(x)=xln x,若f(x0)=2,则x0=()A.e2B.eC.ln22D.ln 2答案B解析f(x)=ln x+x1x=ln x+1,ln x0+1=2,得ln x0=1,即x0=e.3.(2017课标高考改编)曲线y=x2+1x在点(1,2)处的切线方程为()A.y=-x+3B.y=x+1C.y=-2x+4D.y=2x答案B解析设y=f(x),则f(x)=2x-1x2,所以f(1)=2-1=1,所以在(1,2)处的切线方程为y-2=1(x-1),即y=x+1.4.已知曲线y=x+1x-1在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=()A.-2B.2C.-12D.12答案A解析由y=-2(x-1)2得曲线在点(3,2)处的切线斜率为-12,又切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=-2,故选A.5.点P是曲线y=32x2-2ln x上任意一点,则点P到直线y=x-52的距离的最小值为()A.2B.332C.322D.5答案C解析当点P是曲线的切线中与直线y=x-52平行的直线的切点时,距离最小;y=32x2-2ln x,y=3x-2x,令y=1,解得x=1,点P的坐标为1,32.此时点P到直线y=x-52的最小值为|1-32-52|2=322.故选C.6.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)= ;f(5)= .答案-13解析f(5)=-1,f(5)=-5+8=3.7.若对任意x(0,+),都有ln xax恒成立,则实数a的取值范围为.答案1e,+解析在区间(0,+)上绘制函数y=ln x和函数y=ax的图象,若对任意x(0,+),ln xax恒成立,则对数函数的图象应该恒不在一次函数图象的上方,如图所示为临界条件,直线过坐标原点,与对数函数相切,由y=ln x可得y=1x,则在切点(x0,ln x0)处对数函数的切线斜率为k=1x0,即切线方程为y-ln x0=1x0(x-x0),切线过坐标原点,则0-ln x0=1x0(0-x0),解得x0=e,则切线的斜率k=1x0=1e.由此可得,实数a的取值范围为1e,+.8.已知f(x)为偶函数,当x0时,-x0,则f(-x)=ln x-3x.因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=ln x-3x,所以f(x)=1x-3,f(1)=-2.故所求切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.能力提升组9.曲线f(x)=xln x在点(e,f(e)(e为自然对数的底数)处的切线方程为()A.y=ex-2B.y=2x+eC.y=ex+2D.y=2x-e答案D解析因为f(x)=xln x,所以f(x)=ln x+1,故切线的斜率k=f(e)=2,因为f(e)=e,所以切线方程为y-e=2(x-e),即y=2x-e,故选D.10.已知y=a分别与直线y=2x+2,曲线y=x+ln x交于点A,B,则|AB|的最小值为()A.3B.2C.324D.32答案D解析设A(x1,a),B(x2,a),则2(x1+1)=x2+ln x2,x1=12(x2+ln x2)-1,|AB|=x2-x1=12(x2-ln x2)+1,令y=12(x-ln x)+1,则y=121-1x,函数在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,x=1时,函数的最小值为32.故选D.11.已知函数f(x)=xa-1ex,曲线y=f(x)上存在两个不同的点,使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直,则实数a的取值范围是()A.(-e2,+)B.(-e2,0)C.-1e2,+D.-1e2,0答案D解析曲线y=f(x)上存在不同的两点,使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直,f(x)=a+(x-1)e-x=0有两个不同的解,即得a=(1-x)e-x有两个不同的解,设y=(1-x)e-x,则y=(x-2)e-x,x2,y2,y0,y=(1-x)e-x在(-,2)上递减,在(2,+)上递增.x=2时,函数取得极小值-e-2,又因为当x2时总有y=(1-x)e-x0,所以可得数a的取值范围是-1e2,0,故选D.12.设函数y=f(x)在区间(a,b)上的导函数为f(x),f(x)在区间(a,b)上的导函数为f(x),若在区间(a,b)上f(x)0恒成立,则称函数f(x)在区间(a,b)上为“凸函数”.已知f(x)=112x4-16mx3-32x2,若对任意的实数m满足|m|2时,函数f(x)在区间(a,b)上为“凸函数”,则b-a的最大值为()A.4B.3C.2D.1答案C解析当|m|2时,f(x)=x2-mx-3x2-3恒成立.当x=0时,f(x)=-30时,mxx2-3mx-3x,m的最小值是-2,x-3x-2,从而解得0x1;当xx2-3m2,从而解得-1x0.综上可得-1x1,从而b-a的最大值为1-(-1)=2.13.将函数y=ln(x+1)(x0)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角(0,),得到曲线C,若对于每一个旋转角,曲线C都仍然是一个函数的图象,则的最大值为()A.B.2C.3D.4答案D解析函数y=ln(x+1)(x0)的图象绕坐标原点逆时针方向连续旋转时,当且仅当其任意切线的倾斜角小于等于90时,其图象都依然是一个函数图象,因为当x0时,y=1x+1是减函数,且00,a4m2=1-ln m,即a4=m2(1-ln m)有解即可,令g(x)=x2(1-ln x),则由g(x)=2x(1-lnx)+x2-1x=x(1-2ln x)=0,可得x=e,g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+)是单调递减,g(x)的最大值为g(e)=e2,又g(0)=0,0a4e2,01时,f(x)=xex-2,则曲线y=f(x)在x=0处的切线方程是.答案x+y=0解析因为f(1-x)+f(1+x)=2,所以函数关于点(1,1)对称,x1时的解析式f(x)=xex-2,可得2-y=2-xe-x,y=2-2-xe-x,y=x-1e-x,令x=0,则y=-1,y=0,所以切线方程为x+y=0.17.已知点M是曲线y=13x3-2x2+3x+1上任意一点,曲线在M处的切线为l,求:(1)斜率最小的切线方程;(2)切线l的倾斜角的取值范围.解(1)y=x2-4x+3=(x-2)2-1-1,当x=2时,y=-1,y=53,斜率最小的切线过点2,53,斜率k=-1,切线方程为3x+3y-11=0.(2)由(1)得k-1,tan -1,又0,),0,234,.故的取值范围为0,234,.