2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（1）【2013年湖北，文1，5分】已知全集，集合，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】，故选B（2）【2013年湖北，文2，5分】已知，则双曲线：与：的（ ）（A）实轴长相等 （B）虚轴长相等 （C）离心率相等 （D）焦距相等【答案】D【解析】在双曲线：与：中，都有，即焦距相等，故选D（3）【2013年湖北，文3，5分】在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】因为p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则是“没有降落在指定范围”，是“乙没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为，故选A（4）【2013年湖北，文4，5分】四名同学根据各自的样本数据研究变量之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论： y与x负相关且； y与x负相关且； y与x正相关且； y与x正相关且其中一定不正确的结论的序号是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】在中，y与x不是负相关；一定不正确；同理也一定不正确，故选D（5）【2013年湖北，文5，5分】小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是（ ） （A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】可以将小明骑车上学的行程分为三段，第一段是匀速行驶，运动方程是一次函数，即小明距学校的距离是他骑行时间的一次函数，所对应的函数图象是一条直线段，由此可以判断A是错误的；第二段因交通拥堵停留了一段时间，这段时间内小明距学校的距离没有改变，即小明距学校的距离是行驶时间的常值函数，所对应的函数图象是平行于x轴的一条线段，由此可以排除D；第三段小明为了赶时间加快速度行驶，即小明在第三段的行驶速度大于第一段的行驶速度，所以第三段所对应的函数图象不与第一段的平行，从而排除B，故选C（6）【2013年湖北，文6，5分】将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】因为可化为（xR），将它向左平移个单位得，其图像关于轴对称，故选B（7）【2013年湖北，文7，5分】已知点、，则向量在方向上的投影为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】，则向量在向量方向上的射影为，故选A（8）【2013年湖北，文8，5分】x为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上为（ ）（A）奇函数 （B）偶函数 （C）增函数 （D）周期函数【答案】D【解析】函数表示实数x的小数部分，有，所以函数是以1为周期的周期函数，故选D（9）【2013年湖北，文9，5分】某旅行社租用、两种型号的客车安排900名客人旅行，、两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且型车不多于型车7辆则租金最少为（ ）（A）31200元 （B）36000元 （C）36800元 （D）38400元【答案】C【解析】根据已知，设需要A型车x辆，B型车y辆，则根据题设，有，画出可行域，求出三个顶点的坐标分别为，目标函数（租金）为，如图所示将点B的坐标代入其中，即得租金的最小值为： （元），故选C（10）【2013年湖北，文10，5分】已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】，由由两个极值点，得有两个不等的实数解，即有两个实数解，从而直线与曲线有两个交点 过点作的切线，设切点为，则切线的斜率，切线方程为 切点在切线上，则，又切点在曲线上，则，即切点为切线方程为 再由直线与曲线有两个交点，知直线位于两直线和之间，如图所示，其斜率满足：，解得，故选B二、填空题：共7小题，每小题5分，共35分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分（11）【2013年湖北，文11，5分】为虚数单位，设复数，在复平面内对应的点关于原点对称，若，则 【答案】【解析】复数在复平面内的对应点，它关于原点的对称点为，所对应的复数为（12）【2013年湖北，文12，5分】某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（1）平均命中环数为 ；（2）命中环数的标准差为 【答案】（1）7；（2）2【解析】（1）；（2）（13）【2013年湖北，文13，5分】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序若输入的值为2，则输出的结果 【答案】4【解析】初始值，第一次执行程序，得，因为不成立， 则第二次执行程序，得，还是不成立，第三次执行程序，得，仍是不成立，第四次执行程序，得，有成立，输出（14）【2013年湖北，文14，5分】已知圆：，直线：（）设 圆上 到直线的距离等于1的点的个数为，则_ 【答案】4【解析】这圆的圆心在原点，半径为5，圆心到直线的距离为，所以圆上到直线的距离等于1的点有4个，如图A、B、C、D所示（15）【2013年湖北，文15，5分】在区间上随机地取一个数x，若x满足的概率为，则 【答案】3【解析】因为区间的长度为6，不等式的解区间为-m，m ，其区间长度为2m 那么在区间 上随机地取一个数x，要使x满足的概率为，m将区间分为和m，4，且两区间的长度比为5:1，所以（16）【2013年湖北，文16，5分】我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸（注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸）【答案】3【解析】如图示天池盆的半轴截面，那么盆中积水的体积为（立 方寸），盆口面积S=196（平方寸），所以，平地降雨量为（寸）（17）【2013年湖北，文17，5分】在平面直角坐标系中，若点的坐标，均为整数，则称点为格点 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形 格点多边形的面积记为，其内部的格点数记为，边界上的格点数记为 例如图中是格点三角形，对应的，（1）图中格点四边形DEFG对应的分别是 ；（2）已知格点多边形的面积可表示为，其中a，b，c为常数 若某格点多边形对应的， 则 （用数值作答）【答案】（1）3, 1, 6；（2）79【解析】（1）S=SDFG+SDEF=1+2=3 ，N=1，L=6（2）根据题设是格点三角形，对应的，有 由（1）有 再由格点中，S=2，N=0，L=6，得 联立，解得所以当，时，三、解答题：共5题，共65分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（18）【2013年湖北，文18，12分】在中，角，对应的边分别是， 已知（1）求角A的大小；（2）若的面积，求的值解：（1）由，得，即，解得或（舍去）因为，所以（2）由得 又，知由余弦定理得故 又由正弦定理得（19）【2013年湖北，文19，13分】已知是等比数列的前项和，成等差数列，且（1）求数列的通项公式；（2）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的所有的集合；若不存在，说明理由解：（1）设数列的公比为，则，由题意得，即， 解得，故数列的通项公式为（2）由（1）有若存在，使得，则，即 当为偶数时， 上式不成立；当为奇数时，即，则综上，存在符合条件的正整数，且所有这样的n的集合为（20）【2013年湖北，文20，13分】如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为，且 过，的中点，且与直线平行的平面截多面体所得的截面为该多面体的一个中截面，其面积记为（1）证明：中截面是梯形；（2）在ABC中，记，BC边上的高为，面积为 在估测三角形区域内 正下方的矿藏储量（即多面体的体积）时，可用近似公式来估算已知，试判断与V的大小关系，并加以证明解：（1）依题意平面，平面，平面，所以A1A2B1B2C1C2又， ，且因此四边形、均是梯形由平面，平面，且平面平面，可得AA2ME，即A1A2DE同理可证A1A2FG，所以DEFG又、分别为、的中点，则、分别为、 的中点，即、分别为梯形、的中位线 因此 ，而，故，所以中截面是梯形 （2） 证明如下：由平面，平面，可得而EMA1A2，所以，同理可得由是的中位线，可得即为梯形的高， 因此，即 又，所以于是由，得，故（21）【2013年湖北，文21，13分】设，已知函数（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，称为、关于的加权平均数（i）判断, ,是否成等比数列，并证明；（ii）、的几何平均数记为G 称为、的调和平均数，记为H 若，求的取值范围解：（1）的定义域为，当时，函数在，上单调递增；当时，函数在，上单调递减（2）（i），故， 即 所以成等比数列因，即 由得 （ii）由（i）知，故由，得 当时，这时，的取值范围为；当时，从而，由在上单调递增与式，得，即的取值范围为；当时，从而，由在上单调递减与式，得，即的取值范围为（22）【2013年湖北，文22，14分】如图，已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别为，过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为A